Si definiscono **invarianti scalari** quelle combinazioni degli elementi di una [[Matrici|matrice]] che non dipendono dal sistema di riferimento. Una [[Trasformazioni lineari|trasformazione lineare]] in $\mathbb{R}^{n}$ ammette $n$ invarianti linearmente indipendenti. La **traccia** e il **determinante** rappresentano i principali **invarianti scalari** di una trasformazione lineare, ovvero quantità il cui valore rimane immutato indipendentemente dalla base scelta per la rappresentazione matriciale. Essi forniscono informazioni sintetiche fondamentali sulla natura dell'operatore, come la sua invertibilità o la variazione di volume indotta. ### Traccia La **traccia** è l'invariante più semplice ed è definita come la somma degli elementi della diagonale principale: $ \color {orange} \operatorname{tr} \mathbf{A}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}=\mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{A} \mathbf{e}_{i} $ Dal punto di vista algebrico, la traccia è un operatore lineare, soddisfacendo la proprietà: $ \operatorname{tr}(\lambda \mathbf{A}+\mu \mathbf{B})=\lambda \operatorname{tr} \mathbf{A}+\mu \operatorname{tr} \mathbf{B} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R} $ Inoltre, la traccia di un prodotto di matrici è invariante per permutazioni cicliche, ovvero $\operatorname{tr}(\mathbf{AB}) = \operatorname{tr}(\mathbf{BA})$. ### Determinante Il [[Determinante|determinante]] è un invariante scalare che misura, in termini geometrici, il fattore di scala con cui la trasformazione modifica i volumi orientati. Esso può essere definito in modo ricorsivo attraverso la **Regola di Laplace**. Sia $\mathbf{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ una trasformazione lineare: - Per $n=1$: $\operatorname{det} \mathbf{A}=a_{11}$. - Per $n>1$: si introduce il minore complementare $m_{ij}$, ovvero il determinante della matrice ottenuta eliminando la riga $i$ e la colonna $j$. Il determinante è dato da: $ \color {orange} \operatorname{det} \mathbf{A}=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i j} m_{i j} $ Questa formula permette di ridurre il calcolo di un determinante di ordine $n$ a una combinazione lineare di determinanti di ordine $n-1$. #### Casi particolari (n=2, n=3) Per matrici di piccole dimensioni, il calcolo si esplicita nelle seguenti forme: - Se $n=2$: $ \color {green} \operatorname{det} \mathbf{A}=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ - Se $n=3$ (sviluppo che coincide con la regola di Sarrus): $ \color {green} \begin{aligned} \operatorname{det} \mathbf{A}= (a_{11} a_{22} a_{33}+a_{21} a_{32} a_{13}+a_{12} a_{23} a_{31}) -(a_{13} a_{22} a_{31}+a_{12} a_{21} a_{33}+a_{23} a_{32} a_{11}) \end{aligned} $ #### Proprietà e applicazioni geometriche Il determinante gode di proprietà algebriche cruciali per lo studio dei sistemi lineari e della geometria: - **Teorema di Binet**: $\operatorname{det}(\mathbf{A B}) = (\operatorname{det} \mathbf{A})(\operatorname{det} \mathbf{B})$. - **Invarianza per trasposizione**: $\operatorname{det}\left(\mathbf{A}^{T}\right)=\operatorname{det} \mathbf{A}$, dove $\mathbf{A}^{T}$ è la [[Trasformazione trasposta|trasformazione trasposta]]. - **Invertibilità**: Una matrice è tra le [[Matrici invertibili|matrici invertibili]] se e solo se $\operatorname{det} \mathbf{A} \neq 0$, con $\operatorname{det}\left(\mathbf{A}^{-1}\right)=(\operatorname{det} \mathbf{A})^{-1}$. In ambito geometrico, il determinante è strettamente legato al [[Prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]] e al [[Prodotto misto|prodotto misto]]. In particolare, il prodotto misto di tre vettori può essere espresso come il determinante della matrice che ha i vettori come righe (o colonne): $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \wedge \mathbf{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} u_{x} & u_{y} & u_{z} \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \\ w_{x} & w_{y} & w_{z} \end{array}\right) $ Infine, l'azione di una trasformazione lineare sul volume di un parallelepipedo definito da tre vettori è scalata esattamente dal determinante della trasformazione: $ \mathbf{Au} \cdot \mathbf{Av} \wedge \mathbf{Aw}=(\operatorname{det} \mathbf{A}) \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} $ ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]]