Una [[Matrici|matrice]] quadrata o una [[Trasformazioni lineari|trasformazione lineare]] si definisce **invertibile** se esiste un operatore che, composto con l'originale, restituisce l'identità. Tale proprietà garantisce l'esistenza e l'unicità delle soluzioni nei sistemi lineari e l'integrità delle informazioni durante i cambiamenti di base. #### Trasformazione Inversa Sia $\mathbf{A}$ un operatore lineare operante su uno spazio vettoriale. Si definisce **trasformazione inversa** $\mathbf{A}^{-1}$ l'unico operatore che soddisfa la condizione di biunivocità: $ \mathbf{A} \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{A} = \mathbf{I} $ Dove $\mathbf{I}$ rappresenta la trasformazione identica, i cui elementi di matrice sono definiti tramite il delta di Kronecker $\delta_{ij}$: $ i_{ij} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{se } i=j \\ 0 & \text{se } i \neq j \end{cases} $ Se tale operatore esiste, la trasformazione è detta non singolare. In caso contrario, la trasformazione è singolare e non può essere invertita, indicando una perdita di dimensione nell'applicazione dell'operatore. #### Condizioni di invertibilità La condizione necessaria e sufficiente affinché una trasformazione lineare sia invertibile è legata al suo [[Determinante|determinante]]. Un operatore ammette inversa se e solo se il volume orientato dei vettori trasformati non è nullo: $\color {green} \det(\mathbf{A}) \neq 0$ Se il determinante è nullo, il nucleo della trasformazione non è banale, il che implica che più vettori distinti vengono mappati nello stesso vettore immagine, rendendo impossibile l'inversione univoca del processo. #### Proprietà algebriche dell'inversa Le matrici invertibili godono di proprietà specifiche che ne regolano il comportamento nelle operazioni composte: - **Inversa del prodotto**: L'inversa del prodotto di due trasformazioni invertibili è pari al prodotto delle inverse prese in ordine invertito: $ (\mathbf{A B})^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1} $ - **Inversa della trasposta**: L'operazione di inversione commuta con quella di trasposizione. Se $\mathbf{A}^{T}$ è la [[Trasformazione trasposta|trasformazione trasposta]], allora $(\mathbf{A}^{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^{T}$. - **Unicità**: Se una matrice ammette inversa, questa è unica. #### Calcolo della matrice inversa Sotto la condizione $\det \mathbf{A} \neq 0$, gli elementi della matrice inversa si possono calcolare sistematicamente utilizzando i complementi algebrici (cofattori). Sia $m_{ij}$ il determinante della sottomatrice ottenuta eliminando l'i-esima riga e la j-esima colonna della matrice originale. Gli elementi $(a^{-1})_{ij}$ sono dati dalla formula: $ (a^{-1})_{ij} = \frac{(-1)^{i+j} m_{ji}}{\det \mathbf{A}} $ Si osservi che al numeratore compare il minore $m_{ji}$ (con indici scambiati), il che equivale a calcolare la trasposta della matrice dei cofattori, nota come matrice aggiunta. #### Applicazioni nei sistemi lineari L'invertibilità è il requisito fondamentale per la risoluzione analitica di [[Sistemi lineari|sistemi lineari]] espressi nella forma matriciale $\mathbf{AX} = \mathbf{B}$. Se la matrice dei coefficienti $\mathbf{A}$ è invertibile, il sistema ammette una e una sola soluzione, ricavabile tramite moltiplicazione per l'inversa: $ \mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B} $ Questa formulazione è alla base di numerosi algoritmi di calcolo numerico e della risoluzione di problemi di equilibrio e dinamica nella meccanica applicata. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Algebra#Playlist#Matrici invertibili]]