Il **momento** di un [[Vettori applicati e momento|vettore applicato]] è una grandezza vettoriale che misura l'attitudine del vettore a produrre una rotazione rispetto a un punto scelto come polo. #### Definizione e Proprietà Geometriche Dato un [[Sistema di vettori applicati|vettore applicato]] $(P, \mathbf{v})$, il suo momento $\mathbf{m}_O$ rispetto a un polo $O$ è definito mediante il [[Prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]] tra il vettore posizione del punto di applicazione rispetto al polo e il vettore stesso: $\color {orange} \mathbf{m}_O = (P - O) \wedge \mathbf{v} $ Il modulo del momento è espresso dalla relazione: $\color {green} |\mathbf{m}_O| = |P - O| \cdot |\mathbf{v}| \sin \alpha = b |\mathbf{v}| $ dove $\alpha$ è l'angolo compreso tra il vettore posizione e la retta d'azione del vettore $\mathbf{v}$. La quantità $b = |P - O| \sin \alpha$ è definita **braccio** del vettore rispetto al polo $O$ e rappresenta la distanza minima tra il polo e la retta di applicazione del vettore. #### Momento Risultante di un Sistema Per un sistema $\Sigma$ composto da $N$ vettori applicati $(P_i, \mathbf{v}_i)$, il momento risultante $\mathbf{M}_O$ è la somma vettoriale dei momenti dei singoli vettori rispetto al medesimo polo $O$: $ \color {orange} \mathbf{M}_O = \sum_{i=1}^{N} (P_i - O) \wedge \mathbf{v}_i $ ### Teorema di Trasporto (Legge di Variazione del Momento) Il momento di un sistema di vettori dipende strettamente dalla scelta del polo. Il legame tra i momenti calcolati rispetto a due poli differenti, $O$ e $Q$, è stabilito dal **teorema di trasporto**: $\color {green} \begin{equation*} \boldsymbol{M}_{Q}=\boldsymbol{M}_{O}+\boldsymbol{R} \wedge(Q-O)=\boldsymbol{M}_{O}+(O-Q) \wedge \boldsymbol{R} \end{equation*} $ dove $\mathbf{R} = \sum \mathbf{v}_i$ è il risultante generale del sistema. Da questa relazione discendono proprietà fondamentali: - Se il risultante $\mathbf{R}$ è nullo, il momento è un **invariante vettoriale**, ovvero non dipende dal polo scelto. Questo è il caso tipico di una [[Coppia|coppia]] di vettori. - Il prodotto scalare tra il risultante e il momento, $\color {orange} \mathcal{I} = \mathbf{R} \cdot \mathbf{M}_O$, è indipendente dal polo e prende il nome di **trinomio invariante**. #### Risoluzione di Equazioni Vettoriali In ambito cinematico e statico, è spesso necessario risolvere l'equazione $\mathbf{x} \wedge \mathbf{a} = \mathbf{b}$. Secondo i teoremi dell'**algebra lineare**, tale equazione ammette soluzioni se e solo se $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ (ovvero i vettori sono ortogonali). In tal caso, l'infinità di soluzioni è data da: $\color {green} \mathbf{x} = \frac{1}{|\mathbf{a}|^2} \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} + \lambda \mathbf{a}, \quad \lambda \in \mathbb{R} $ Questa formula identifica geometricamente una retta parallela al vettore $\mathbf{a}$. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Meccanica Razionale#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Algebra#Risorse#Momento di un vettore]]