> [!Info]- Legenda > - **$T: V \to W$**: Trasformazione lineare da uno spazio vettoriale $V$ a uno spazio vettoriale $W$. > - **$\ker(T)$**: Nucleo della trasformazione $T$. > - **$\text{Im}(T)$**: Immagine della trasformazione $T$. > - **$\dim(V)$**: Dimensione dello spazio vettoriale $V$. > - **$\dim(\ker(T))$**: Dimensione del nucleo di $T$. > - **$\dim(\text{Im}(T))$**: Dimensione dell'immagine di $T$. --- Consideriamo una [[Trasformazioni lineari|trasformazione lineare]] $T: V \to W$, dove $V$ e $W$ sono [[Spazio vettoriale|spazi vettoriali]]. **Nucleo ($\ker(T)$)** Il nucleo di una trasformazione lineare $T$ è l'insieme di tutti i vettori $v \in V$ tali che $T(v) = 0$ Formalmente, $\color {orange} \ker(T) = \{ v \in V \mid T(v) = 0 \}$ Il nucleo è un sottospazio vettoriale di $V$ e fornisce informazioni sui [[Vettori|vettori]] che vengono mappati all'origine nello spazio $W$. **Immagine ($\text{Im}(T)$)** L'immagine di una trasformazione lineare $T$ è l'insieme di tutti i vettori $w \in W$ per i quali esiste almeno un vettore $v \in V$ tale che $T(v) = w$. Formalmente, $ \color {orange}\text{Im}(T) = \{ T(v) \mid v \in V \}$ L'immagine è un sottospazio vettoriale di $W$ e rappresenta l'insieme dei vettori raggiungibili tramite la trasformazione $T$. #### **Teorema Fondamentale delle Trasformazioni Lineari** Un'importante relazione tra nucleo e immagine è data dal teorema fondamentale delle trasformazioni lineari, che afferma che per una trasformazione lineare $T: V \to W$, la somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine è uguale alla **dimensione** dello spazio vettoriale: $\color {green} \dim(V) = \dim(\ker(T)) + \dim(\text{Im}(T))$ Questo teorema è cruciale per comprendere come le trasformazioni lineari riducono o preservano la dimensione degli spazi vettoriali.