Un numero complesso $z$ può essere scritto in **forma rettangolare** come: $\color {orange} z = x + j y $ dove: - $j = \sqrt{-1}$ è l'unità immaginaria. - $x$ è la parte reale di $z$ $\rightarrow x = \operatorname{Re}(z)$ - $y$ è la parte immaginaria di $z$ $\rightarrow y = \operatorname{Im}(z)$ Il numero complesso $z$ viene rappresentato graficamente nel piano complesso (o piano di Gauss). ![[Pasted image 20260206143850.png]] Poiché $j = \sqrt{-1}$, le potenze di $j$ si ripetono ciclicamente ogni quattro: $ \begin{aligned} \frac{1}{j} & = -j \\ j^2 & = -1 \\ j^3 & = j \cdot j^2 = -j \\ j^4 & = j^2 \cdot j^2 = 1 \\ j^5 & = j \cdot j^4 = j \\ & \vdots \\ j^{n+4} & = j^n \end{aligned} $ ### Rappresentazioni alternative #### Forma polare Un secondo modo di rappresentare il numero complesso $z$ è specificando il suo modulo $r$ e l'angolo $\theta$ che forma con l'asse reale positivo. $ \color {orange} z = |z| \angle \theta = r \angle \theta $ dove: $ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \tan^{-1} \frac{y}{x} $ Viceversa, per passare alla forma rettangolare: $ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $ Quindi: $ z = x + j y = r \angle \theta = r (\cos \theta + j \sin \theta) $ #### Forma esponenziale La terza via è la forma esponenziale, basata sulle [[Formule di Eulero]]: $ \color {orange} z = r e^{j \theta} $ Questa forma è concettualmente identica alla polare, poiché utilizza lo stesso modulo $r$ e lo stesso angolo $\theta$. #### Conversione tra forme Nel convertire dalla forma rettangolare alla polare, bisogna prestare attenzione al quadrante corretto in cui si trova $z$ per determinare il valore di $\theta$: $ \begin{array}{lll} z = x + j y, & \theta = \tan^{-1} \frac{y}{x} & \text{(1° Quadrante)} \\ z = -x + j y, & \theta = 180^{\circ} - \tan^{-1} \frac{y}{x} & \text{(2° Quadrante)} \\ z = -x - j y, & \theta = 180^{\circ} + \tan^{-1} \frac{y}{x} & \text{(3° Quadrante)} \\ z = x - j y, & \theta = 360^{\circ} - \tan^{-1} \frac{y}{x} & \text{(4° Quadrante)} \end{array} $ *(Assumendo $x$ e $y$ come valori assoluti positivi nei calcoli dell'arcotangente).* ### Operazioni algebriche #### Somma e Sottrazione Due numeri complessi sono uguali se e solo se le loro parti reali e immaginarie sono rispettivamente uguali. La somma e la sottrazione si eseguono più agevolmente in **forma rettangolare**: $ z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + j(y_1 \pm y_2) $ Il [[Numeri complessi coniugati|complesso coniugato]] di $z = x + jy$ è: $ z^* = x - j y = r \angle -\theta = r e^{-j \theta} $ #### Prodotto e quoziente Mentre somma e sottrazione sono semplici in forma rettangolare, il prodotto e il quoziente sono molto più immediati in **forma polare o esponenziale**. **Prodotto:** $ z_1 z_2 = (r_1 r_2) \angle (\theta_1 + \theta_2) $ **Quoziente:** $ \frac{z_1}{z_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right) \angle (\theta_1 - \theta_2) $ Praticamente, dobbiamo quindi convertire entrambi i numeri complessi in forma polare, effettuare l'operazione di prodotto o quoziente, per poi riconvertirli in forma rettangolare se necessario. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]]