### Somma e sottrazione La somma (o differenza) tra due matrici è definita solo se le matrici hanno le **stesse dimensioni** ($m \times n$). Data $A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$, la matrice somma $C = A + B$ è definita elemento per elemento: $ c_{i j} = a_{i j} + b_{i j} $ #### Proprietà della somma - **Commutativa**: $A + B = B + A$ - **Associativa**: $(A + B) + C = A + (B + C)$ - **Elemento neutro**: La matrice nulla $\mathbf{0}$, tale che $A + \mathbf{0} = A$ - **Esistenza dell'opposto**: Per ogni $A$, esiste $-A$ tale che $A + (-A) = \mathbf{0}$ ### Prodotto per uno scalare Data una matrice $A$ e uno scalare $\lambda \in \mathbb{R}$, il prodotto $\lambda A$ si ottiene moltiplicando ogni elemento di $A$ per lo scalare: $ (\lambda A)_{i j} = \lambda \cdot a_{i j} $ #### Proprietà del prodotto per uno scalare - **Distributiva rispetto alla somma di matrici**: $\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B$ - **Distributiva rispetto alla somma di scalari**: $(\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A$ - **Associativa**: $\lambda(\mu A) = (\lambda \mu)A$ ### Prodotto righe-colonne Il prodotto tra due matrici $A$ e $B$ è definito solo se il **numero di colonne di $A$ è uguale al numero di righe di $B$**. Se $A$ è una matrice $m \times n$ e $B$ è una matrice $n \times p$, la matrice prodotto $C = AB$ sarà una matrice $m \times p$. L'elemento generico $c_{ij}$ è dato dalla somma dei prodotti degli elementi della riga $i$ di $A$ per gli elementi della colonna $j$ di $B$: $ (AB)_{i j} = \sum_{k=1}^{n} a_{i k} b_{k j} $ #### Proprietà del prodotto - **Non commutativo**: In generale, $AB \neq BA$. Anche quando entrambi i prodotti sono definiti e hanno le stesse dimensioni, il risultato solitamente differisce. - **Associativo**: $A(BC) = (AB)C$ - **Distributivo**: $A(B + C) = AB + AC$ e $(A + B)C = AC + BC$ - **Elemento neutro**: La [[Matrici|Matrice identità]] $I$, tale che $AI = IA = A$ ### Trasposizione La [[Trasformazione trasposta|trasposta]] di una matrice $A$ (indicata con $A^T$ o $A^t$) si ottiene scambiando le righe con le colonne: $ (A^T)_{i j} = a_{j i} $ #### Proprietà della trasposizione - $(A + B)^T = A^T + B^T$ - $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ - $(AB)^T = B^T A^T$ (Nota l'inversione dell'ordine) - $(A^T)^T = A$