**Il prodotto misto** tra tre vettori ($\vec v,\vec u,\vec \omega$) è lo **scalare** definito da: $ \color {orange} \vec v\cdot \vec u \times \vec \omega=\vec v\cdot(\vec u\times \vec\omega)$ Si ottiene facendo prima il [[Prodotto vettoriale]] e poi il [[Prodotto scalare]] tra i 3 vettori. Scrivendo i vettori in componenti cartesiane: - $\vec v=(v_x,v_y,v_z)=v_x\hat i+v_y\hat j+v_z\hat k$ - $\vec u=u_x\hat i+u_y\hat j+u_z\hat k$ - $\vec \omega=\omega_x\hat i+\omega_y\hat j+\omega_z\hat k$ Si ottiene la formula: $ \color {green} \vec v\cdot(\vec u\times \vec\omega)= det \begin{vmatrix} v_x & v_y & v_z \\ u_x & u_y & u_z\\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \end{vmatrix} $ *Questa formula permette di derivare le proprietà del prodotto misto sfruttando le proprietà note del [[Determinante]].* *Per esempio il fatto che vettori complanari, ovvero linearmente dipendenti, abbiano prodotto misto uguale a zero segue dal fatto che il determinante costruito con le componenti di tre vettori linearmente dipendenti è nullo.* ### Approfondimento --- - [[Risorse#Libri di testo|Meccanica Razionale. Biscari, Ruggeri]] ![[0 Meccanica_Razionale_Paolo_Biscari,_Tommaso_Ruggeri#A.1) Punti, vettori#Prodotto misto]]