**Il prodotto scalare** tra [[Vettori|vettori]] è un operazione tra 2 vettori che restituisce come risultato uno scalare, di modulo: $ \vec v\cdot \vec u = |\vec v|\cdot |\vec u| \cdot cos\theta $ Con \theta l'angolo minore compreso tra i due vettori ($0\le\theta\le\pi$) **Dalla definizione segue immediatamente che due vettori sono ortogonali ($\theta= \pi/2$) se e solo se il loro prodotto scalare è nullo.** Il valore del prodotto scalare può essere egualmente trovato sfruttando le componenti cartesiane dei singoli vettori $ \color {green} \vec v\cdot \vec u = v_xu_x+v_yu_y+v_zu_z $ Dati due vettori - $\mathbf{u} \,=\, u_{1} \, \mathbf{e}_{1} \,+\, u_{2} \, \mathbf{e}_{2} \,+\, u_{3} \, \mathbf{e}_{3}$ - $\mathbf{v} \,=\, v_{1} \, \mathbf{e}_{1} \,+\, v_{2} \, \mathbf{e}_{2} \,+\, v_{3} \, \mathbf{e}_{3},$ possiamo definire il prodotto scalare tra u e v anche come: $ \mathbf{u} \cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3} u_{i} v_{i}. $ ll prodotto scalare consente di definire il modulo di un vettore e l'angolo tra due vettori: $ u=| \mathbf{u} |={\sqrt{\mathbf{u} \cdot\mathbf{u}}}={\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}} \,, \qquad\operatorname{c o s} \alpha={\frac{\mathbf{u} \cdot\mathbf{v}} {\left| \mathbf{u} \right| \left| \mathbf{v} \right|}} \,, $ #### Proprietà Il prodotto scalare tra vettori possiede diverse proprietà fondamentali. Per ogni vettore $v$, $u$, $\omega$ e per ogni numero reale $t$, valgono le seguenti proprietà: - **Commutatività**: $v \cdot u = u \cdot v$ - **Prodotto scalare di un vettore con se stesso**: $v \cdot v = ||v||^2$ - **Associatività rispetto alla moltiplicazione scalare**: $(tv) \cdot u = t(v \cdot u)$ - **Distributività**: $v \cdot (u + \omega) = v \cdot u + v \cdot \omega$ Inoltre: - Due vettori sono detti ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo. - Una **base è ortogonale** se è composta da vettori ortogonali a due a due. - Una base ortogonale formata da versori è detta **base ortonormale.** ##### Proiezione di un vettore lungo una retta Sia $\mathbf{e}$ un versore; la componente di un vettore $\mathbf{u}$ lungo $\mathbf{e}$ è definita come il prodotto scalare: $ u_e = \mathbf{u} \cdot \mathbf{e} $ Analogamente, consideriamo un punto $P$ e una retta $r$ passante per l'origine $O$ e parallela a $\mathbf{e}$. La proiezione di $P$ su $r$ è il punto $P_r$ tale che: $ O P_r = (O P \cdot \mathbf{e}) \mathbf{e} $ Il prodotto scalare può essere utilizzato per proiettare un vettore lungo una retta. Introduciamo un versore $\mathbf{u}$ lungo la retta $r$ con $||\mathbf{u}|| = 1$. La proiezione del vettore $\mathbf{v}$ lungo la retta è data da: $ \mathbf{v}_{\text{proiezione}} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{u} $ Queste considerazioni permettono di scomporre un vettore rispetto a una base ortonormale, come la **base canonica** ($i, j, k$). ##### Teorema di Pitagora Il Teorema di Pitagora fornisce un modo semplice di esprimere la distanza del punto $P$ dalla retta $r$ in termini di due prodotti scalari. Infatti, detto $\alpha$ l'angolo determinato da $O P$ con il versore e si ha: $ \begin{aligned} d(P, r) & =\left|P P_r\right|=|O P| \sin \alpha=\sqrt{ }|O P|^2-\left|O P_r\right|^2 \\ & =\sqrt{ } O P \cdot O P-(O P \cdot \mathbf{e})^2 \end{aligned} $ Sia $\pi$ il piano ortogonale al versore e passante per $O$., dato un qualunque punto $P$, si costruisce la proiezione di $P$ su $\pi$ come il punto $P_\pi$ tale che: $ O P_\pi=O P-(O P \cdot \mathbf{e}) \mathbf{e} $ Il Teorema di Pitagora consente ancora di esprimere anche la distanza del punto $P$ dal piano $\pi$. Infatti, detto nuovamente $\alpha$ l'angolo determinato da $O P$ ed $\mathbf{e}$ (si noti che $\alpha$ è complementare all'angolo tra $O P$ e $\pi$ ) si ha: $ d(P, \pi)=\left|P P_\pi\right|=|O P||\cos \alpha|=|O P \cdot \mathbf{e}| $ Il prodotto scalare $(O P \cdot \mathbf{e})$ è positivo se $P$ si trova nel semispazio delimitato da $\pi$ verso cui punta e è nullo se $P$ appartiene a $\pi$, ed è negativo se $P$ si trova nell'altro semispazio. ### Approfondimento --- - [Dot products and duality | Chapter 9, Essence of linear algebra](https://youtu.be/LyGKycYT2v0?si=4BfCtoRscNQvthrW) <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/LyGKycYT2v0?si=YiUVC5kv5syd7CnF" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> - [[Risorse#Libri di testo|Meccanica Razionale. Biscari, Ruggeri]] ![[0 Meccanica_Razionale_Paolo_Biscari,_Tommaso_Ruggeri#A.1) Punti, vettori#Prodotto scalare]]