Nel contesto dell'algebra lineare, il **prodotto tensoriale** è un'operazione tra [[Vettori|vettori]] che risulta particolarmente utile, ad esempio, quando si discute del tensore (o matrice) d'inerzia. Il prodotto tensoriale è un'operazione tra vettori che, a differenza del [[Prodotto scalare]] e del [[Prodotto vettoriale]], restituisce una [[Matrici|matrice]]. Quando si esegue il prodotto tensoriale tra due vettori, si ottiene una matrice i cui elementi sono i prodotti di ciascun elemento del primo vettore con ciascun elemento del secondo vettore. Per esempio, dati due vettori $\mathbf{u} = [u_1, u_2, u_3]$ e $\mathbf{v} = [v_1, v_2, v_3]$, il prodotto tensoriale $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ è una matrice $3 \times 3$: $ \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 v_1 & u_1 v_2 & u_1 v_3 \\ u_2 v_1 & u_2 v_2 & u_2 v_3 \\ u_3 v_1 & u_3 v_2 & u_3 v_3 \end{bmatrix} $ **Prodotto Tensoriale** Il prodotto tensoriale tra due vettori $a$ e $b$, indicato con $a \otimes b$, è la matrice tale che: $(a\otimes b)v=a(b\cdot v), \quad \forall v $ Questa operazione eredita le proprietà di linearità dal prodotto scalare. ##### Proprietà Dati i vettori $a$, $b$, $c$ e un numero reale $t$, si ha: - $(a + b) \otimes c = a \otimes c + b \otimes c$ - $a \otimes (b+c)= a\otimes b + a\otimes c$ - $(ta) \otimes b = t(a \otimes b)$ **Osservazione 7.6**: Il prodotto tensoriale non è commutativo, ovvero $a \otimes b \neq b \otimes a$. #### Calcolo degli elementi della matrice Dati due vettori $a$ e $b$, e una base ortonormale $(e_1, e_2, e_3)$, possiamo calcolare gli elementi della matrice $a \otimes b$. Se scriviamo i vettori in componenti, $a = \sum_{i=1}^{3} a_i e_i$ e $b = \sum_{i=1}^{3} b_i e_i$, l'elemento $(i, j)$ della matrice $a \otimes b$ è dato dal prodotto dell'elemento $i$ del vettore $a$ con l'elemento $j$ del vettore $b$. $(a\otimes b)_{ij}= e_i \cdot (a\otimes b)e_j=e_i\cdot (b\cdot e_j)a=b_je_i\cdot a=a_ib_j$ In particolare, la matrice associata al tensore $e_i \otimes e_j$ ha tutti 0, tranne un 1 nell'i-esima riga e j-esima colonna. ##### Esempio (versori) I prodotti tensoriali dei vettori base ($\hat i,\hat j,\hat k)$ costituiscono una base per lo spazio vettoriale delle matrici. | $\hat{i} \otimes \hat{i} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ | $\hat{i} \otimes \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ | $\hat{i} \otimes \hat{k} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ | | --------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- | | $\hat{j} \otimes \hat{i} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ | $\hat{j} \otimes \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ | $\hat{j} \otimes \hat{k} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ | | $\hat{k} \otimes \hat{i} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ | $\hat{k} \otimes \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ | $\hat{k} \otimes \hat{k} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ | Ogni matrice $A$ può essere scomposta nella somma delle sue componenti $a_{ij}$ moltiplicate per la "matrice base" $e_i \otimes e_j$. Infatti, basta scrivere: $A=\sum_{i,j=1}^3 a_{ij}e_i \otimes e_j$ ##### Esempio La matrice $A=\begin{pmatrix} 0&7&-1 \\ 0 & 4&0 \\ 0&0&0 \end {pmatrix} $ può essere scritta evidenziando esplicitamente la base nel seguente modo: $A= 7(e_1 \otimes e_2) -(e_1 \otimes e_3) +4(e_2 \otimes e_3)$ #### Proiettore Introduciamo un versore u lungo la retta, che rispetti l'orientazione della retta. ![[Pasted image 20250303140246.png|400]] Il vettore proiettato è dato da $(v \cdot u)u$, che ora possiamo riscrivere, tramite il prodotto tensoriale, come $(u \otimes u)v$. Otteniamo quindi che il proiettore $\Pi_r$ è dato da: $\Pi_r=u\otimes u$ con u = versore. A questo punto è facile ottenere la proiezione sul piano ortogonale, sarà data infatti semplicemente dalla differenza tra il vettore v e la sua proiezione lungo r. In formule: $\Pi_r^\bot v=v-(u\otimes u)v=(I-u\otimes u)v$ ovvero, la trasformazione lineare che proietta sul piano ortogonale a r è data da: $\color {green} \Pi_r^\bot=I-u\otimes u$