Il prodotto vettoriale è un'operazione tra [[Vettori|vettori]] che restituisce un nuovo vettore ($V \times V \rightarrow V$) con le seguenti caratteristiche: - **Modulo**: Il modulo del prodotto vettoriale è dato da $|\vec{v} \times \vec{u}| = |\vec{v}| \cdot |\vec{u}| \cdot \sin(\gamma)$, dove $\gamma$ è l'angolo minore compreso tra i due vettori ($0 \le \gamma \le \pi$). - **Direzione**: Il vettore risultante è ortogonale al piano formato dai due vettori originali. - **Verso**: Determinato dalla regola della mano destra, *ovvero tale che i tre vettori formino una terna ortonormale destrorsa (guarda figura)* ![[Pasted image 20250228124936.png|300]] *Osservazioni: - il prodotto vettoriale è definito solo in tre dimensioni. - La **regola della mano destra** dice che se immagino di chiudere il palmo della mano destra in modo che il vettore $\vec{a}$ si sovrapponga a $\vec{b}$ nel verso in cui l'angolo è minore di 180°, il pollice indicherà il verso del vettore $\vec{v} \times \vec{u}$. Il prodotto vettoriale in R^3, può essere effettuato più agevolmente scrivendo i due vettori tramite i loro versori in [[Vettori|componenti cartesiane]] e calcolando il [[Determinante]] della [[Matrici|matrice]] in questo modo: $ \color {green} \vec v\times \vec u =det \begin{vmatrix} i & j & k \\ v_x & v_y&v_z\\ u_x & u_y&u_z \end{vmatrix} $ #### Proprietà - **Anticommutatività**: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$. - $\vec{a} \times \vec{b} = 0$ se e solo se $\vec{a} = \lambda \vec{b}$ per qualche $\lambda \in \mathbb{R}$, ovvero quando $\vec{a}$ e $\vec{b}$ sono paralleli. - Dati tre vettori $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ e uno scalare $t$, il prodotto vettoriale è **bilineare.** Inoltre la norma $||\vec{a} \times \vec{b}||$ corrisponde all'area del parallelogramma formato dai vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$. ![[Pasted image 20250228130302.png]] Stiamo guardando nel piano individuato dai due vettori. L'altezza del parallelogramma è ($b sin\gamma$) e la base è ($a sin \gamma$) quindi l'area del parallelogramma è data da $ab \sin \gamma = ||\vec{a} \times \vec{b}||$ Valgono poi le relazioni: $\begin{array}{ll} \mathbf{i} \times \mathbf{j}=\mathbf{k}, & \mathbf{j} \times \mathbf{i}=-\mathbf{k} \\ \mathbf{j} \times \mathbf{k}=\mathbf{i}, & \mathbf{k} \times \mathbf{j}=-\mathbf{i} \\ \mathbf{k} \times \mathbf{i}=\mathbf{j}, & \mathbf{i} \times \mathbf{k}=-\mathbf{j} \end{array}$ ### Approfondimento --- - [Cross products in the light of linear transformations | Chapter 11, Essence of linear algebra](https://youtu.be/BaM7OCEm3G0?si=PugBbqTx3FDJ_CU1) <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/BaM7OCEm3G0?si=ytQafsyWUILvfN-F" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> - [[Risorse#Libri di testo|Meccanica Razionale. Biscari, Ruggeri]] ![[0 Meccanica_Razionale_Paolo_Biscari,_Tommaso_Ruggeri#A.1) Punti, vettori#Prodotto vettoriale]]