==La **segnatura** di una matrice simmetrica identifica il numero di autovalori positivi, nulli e negativi della matrice stessa.== #### Problema agli autovalori generalizzato Si consideri una matrice $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N \times N}$ simmetrica e definita positiva, tale che $\mathbf{A} = \mathbf{A}^T$ e la forma quadratica associata soddisfi $\mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\mathbf{v} > 0$ per ogni $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$. Sia inoltre $\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{N \times N}$ una matrice simmetrica generica. Il teorema della segnatura analizza le radici $\mu$ del **polinomio caratteristico generalizzato:** $\color {green} \operatorname{det}(\mathbf{B} - \mu \mathbf{A}) = 0 $ Tale equazione definisce gli autovalori del sistema $\mathbf{B}\mathbf{v} = \mu \mathbf{A}\mathbf{v}$. Il teorema afferma che il numero di radici $\mu$ positive, nulle e negative è identico al numero di autovalori positivi, nulli e negativi della matrice $\mathbf{B}$ calcolati nel problema standard ($\mathbf{A} = \mathbf{I}$). #### Dimostrazione e invarianza del segno La validità del teorema poggia sulla stabilità del segno delle forme quadratiche rispetto al cambiamento del prodotto scalare di riferimento. Poiché $\mathbf{A}$ è definita positiva, essa definisce un prodotto scalare indotto $(\mathbf{u}, \mathbf{v})_A = \mathbf{u} \cdot \mathbf{A}\mathbf{v}$. ##### Decomposizione in Sottospazi Sia $\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_N\}$ una base di autovettori di $\mathbf{B}$ con autovalori $\{\nu_1, \dots, \nu_N\}$ ordinati decrescentemente. Definiamo tre sottospazi fondamentali dello [[Spazio vettoriale|spazio vettoriale]]: - $V_+$: sottospazio generato dagli $r$ autovettori con autovalori positivi. - $V_0$: sottospazio generato dagli $s$ autovettori con autovalori nulli. - $V_-$: sottospazio generato dai rimanenti $N-r-s$ autovettori con autovalori negativi. ##### Analisi della forma quadratica La matrice $\mathbf{B}$ mantiene la sua natura (definita positiva, nulla o definita negativa) su tali sottospazi indipendentemente dalla metrica $\mathbf{A}$. Per un generico vettore $\mathbf{v} = \sum_{i=1}^{r} v_i \mathbf{e}_i \in V_+$ (con $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$), la forma quadratica pesata da $\mathbf{A}$ risulta: $ (\mathbf{B}\mathbf{v}, \mathbf{v})_A = \mathbf{B}\mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\mathbf{v} = \sum_{i,j=1}^{r} v_i v_j \nu_i (\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{A}\mathbf{e}_j) $ Sfruttando il fatto che $\nu_r$ è il minimo autovalore positivo ($\nu_i \geq \nu_r > 0$), si ottiene: $ (\mathbf{B}\mathbf{v}, \mathbf{v})_A \geq \nu_r (\mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\mathbf{v}) > 0 $ Poiché $\mathbf{A}$ è definita positiva, il termine $\mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\mathbf{v}$ è strettamente positivo, garantendo che il segno della forma quadratica non cambi. Il numero di autovalori positivi, nulli o negativi (la segnatura) è dunque una proprietà intrinseca di $\mathbf{B}$ preservata nel problema generalizzato. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]]