La **regola di Cramer** è un metodo matematico utilizzato per risolvere [[Sistemi lineari|sistemi quadrati di equazioni lineari]]. ==La condizione necessaria per l'applicazione della regola di Cramer è che il determinante della matrice dei coefficienti, indicato come **det(A)**, sia diverso da zero. In tal caso, il sistema ammette una soluzione unica per ciascuna incognita.== Per determinare la soluzione di un sistema di equazioni lineari tramite la regola di Cramer, si procede nel seguente modo: 1. per ogni incognita $x_i$, si calcola il determinante della matrice $A_i$, ottenuta sostituendo la colonna $i$-esima della matrice dei coefficienti $A$ con il vettore dei termini noti. 2. La soluzione per l'incognita $x_i$ è data dalla formula: $ x_i = \frac{det(A_i)}{det(A)} $ *La soluzione di ciascuna incognita dipende quindi dal rapporto tra il determinante della matrice modificata $A_i$ e il determinante della matrice originale $A$.* ##### Esempio Consideriamo un semplice sistema di due equazioni con due incognite: $ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 6 \end{cases} $ **Passo 1: Matrice dei Coefficienti e Determinante** La matrice dei coefficienti $A$ è: $ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} $ Calcoliamo il determinante di $A$, $det(A)$: $ det(A) = (2)(-1) - (3)(4) = -2 - 12 = -14 $ **Passo 2: Matrici Modificate e Determinanti** Per trovare $x$, sostituiamo la prima colonna di $A$ con il vettore dei termini noti $\begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}$, ottenendo la matrice $A_x$: $ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} $ Calcoliamo il determinante di $A_x$, $det(A_x)$: $ det(A_x) = (5)(-1) - (3)(6) = -5 - 18 = -23 $ Per trovare $y$, sostituiamo la seconda colonna di $A$ con il vettore dei termini noti, ottenendo la matrice $A_y$: $ A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} $ Calcoliamo il determinante di $A_y$, $det(A_y)$: $ det(A_y) = (2)(6) - (5)(4) = 12 - 20 = -8 $ **Passo 3: Soluzioni** Utilizzando la regola di Cramer, le soluzioni per $x$ e $y$ sono date da: $ x = \frac{det(A_x)}{det(A)} = \frac{-23}{-14} = \frac{23}{14} $ $ y = \frac{det(A_y)}{det(A)} = \frac{-8}{-14} = \frac{4}{7} $ Quindi, la soluzione del sistema è $x = \frac{23}{14}$ e $y = \frac{4}{7}$. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Algebra#Playlist#Sistemi di Cramer]]