Uno spazio vettoriale è costituito da un insieme di elementi chiamati [[Vettori]], insieme a due operazioni: l'[[Operazioni vettoriali|addizione vettoriale]] e la [[Operazioni vettoriali|moltiplicazione per uno scalare]]. Queste operazioni devono soddisfare una serie di assiomi. Si dice in modo formale che: Un insieme $V$ è uno **spazio vettoriale** su un campo $F$ (come i numeri reali $\mathbb{R}$ o i numeri complessi $\mathbb{C}$) se sono soddisfatte le seguenti condizioni: - è definita una legge di composizione interna $V\times V \rightarrow V$ (detta **somma vettoriale**), tale che per ogni scelta di $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbf{V}$, valgono le proprietà: 1. **Chiusura rispetto all'addizione**: Per ogni $u, v \in V$, la somma $u + v$ è anch'essa in $V$. 2. **Chiusura rispetto alla moltiplicazione per uno scalare**: Per ogni $v \in V$ e ogni scalare $c \in F$, il prodotto $c \cdot v$ è in $V$. 3. **Associativa dell'addizione**: Per ogni $u, v, w \in V$ --> $(u + v) + w = u + (v + w)$. 4. **Commutativa dell'addizione**: Per ogni $u, v \in V$ --> $u + v = v + u$. 5. **Elemento neutro dell'addizione**: Esiste un elemento $0 \in V$ tale che per ogni $v \in V$, $v + 0 = v$. 6. **Inverso dell'addizione**: Per ogni $v \in V$, esiste un elemento $-v \in V$ tale che $v + (-v) = 0$. - è definita una legge di composizione con uno scalare: $\mathbb{R}\times V \rightarrow V$ , chiamata **prodotto per uno scalare**; ad ogni coppia costituita da uno scalare a\in R e un vettore v\in V, il prodotto associa il vettore a\vec v \in V, tale che per ogni scelta di $\mathbf{a}, \mathbf{u},\in \mathbf{V}$, e a,b \in R valgono le proprietà: 1. **Associativa della moltiplicazione**: Per ogni $a, b \in F$ e $v \in V$, $a(bv) = (ab)v$. 2. **Elemento neutro della moltiplicazione**: Per ogni $v \in V$, $1 \cdot v = v$, dove $1$ è l'elemento neutro del campo $F$. 3. **Distributività della moltiplicazione rispetto alla somma vettoriale**: Per ogni $a \in F$ e $u, v \in V$, $a(u + v) = au + av$. 4. **Distributività della moltiplicazione rispetto alla somma scalare**: Per ogni $a, b \in F$ e $v \in V$, $(a + b)v = av + bv$. Inoltre, dato un insieme di vettori non nulli, essi si dicono **linearmente dipendenti** se è nulla almeno una loro combinazione lineare non banale, ovvero esistono dei coefficienti non tutti nulli, tali che $\sum_i^N \alpha_i \mathbf{v}_i = \mathbf {0}$ Altrimenti, li si dicono **linearmente indipendenti.** ==La **dimensione dello spazio vettoriale** V e pari al numero massimo di suoi elementi linearmente indipendenti.==