Una [[Trasformazioni lineari|trasformazione lineare]] è detta diagonalizzabile tramite una trasformazione ortogonale se esiste una **base ortonormale** in cui la sua matrice è diagonale, ovvero gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli. In termini matematici, questo si esprime come $e_i \cdot A e_j = 0$ per $i \neq j$. Quando una trasformazione è diagonalizzabile, la base in cui si diagonalizza è composta dai suoi [[Autovalori e autovettori|autovettori]], e gli elementi diagonali sono i suoi **autovalori.** In altre parole, si ha $A e_i = \lambda_i e_i$ Si dimostra inoltre che le uniche [[Matrici]] diagonalizzabili tramite una trasformazione ortogonale sono le **matrici simmetriche.** In particolare, è importante sapere che una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile tramite una trasformazione ortogonale. In altre parole, data una trasformazione simmetrica, esiste un sistema di versori ortogonali (e quindi un sistema di riferimento cartesiano appropriato) rispetto al quale la matrice assume una forma diagonale. Inoltre, si dimostra che tutti gli autovalori di una matrice simmetrica reale sono reali.