La trasformazione trasposta è un operatore fondamentale dell'algebra lineare che definisce la dualità in uno spazio euclideo. Essa permette di trasferire l'azione di una [[Trasformazioni lineari|trasformazione lineare]] da un vettore all'altro all'interno di un [[Prodotto scalare|prodotto scalare]]. #### Definizione e rappresentazione matriciale Data una trasformazione lineare $\mathbf{A}$ operante su uno spazio di [[Vettori|vettori]] $\mathbb{R}^{n}$, si definisce **trasformazione trasposta** $\mathbf{A}^{T}$ l'unico operatore che soddisfa la seguente identità per ogni coppia di vettori $\mathbf{u}, \mathbf{v}$: $ \color {orange} \begin{equation*} \mathbf{u} \cdot \mathbf{A} \mathbf{v}=\mathbf{A}^{T} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} \end{equation*} $ In termini di componenti rispetto a una base ortonormale, la [[Matrici|matrice]] associata alla trasposta si ottiene scambiando le righe con le colonne della matrice originale. Gli elementi di matrice $a_{ij}$ sono legati a quelli della trasposta dalla relazione: $ \color {green} \left(a^{T}\right)_{i j}=a_{j i} . $ #### Proprietà del prodotto Un'importante proprietà algebrica riguarda la trasposizione del prodotto di due trasformazioni. La trasposta del prodotto non coincide con il prodotto delle trasposte nell'ordine originale, bensì con il prodotto delle trasposte in ordine invertito. La dimostrazione segue direttamente dalla definizione di operatore aggiunto: $ \mathbf{u} \cdot(\mathbf{A B}) \mathbf{v}=\mathbf{u} \cdot \mathbf{A}(\mathbf{B} \mathbf{v})=\mathbf{A}^{T} \mathbf{u} \cdot \mathbf{B} \mathbf{v}=\mathbf{B}^{T} \mathbf{A}^{T} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $ Da cui si ricava l'identità fondamentale: $\color {green} (\mathbf{A B})^{T}=\mathbf{B}^{T} \mathbf{A}^{T} $ #### Classificazione: Simmetria e Anti-simmetria La relazione tra una trasformazione e la sua trasposta permette di classificare gli operatori in due categorie fondamentali, essenziali per lo studio della meccanica: - **Trasformazioni simmetriche**: Un operatore $\mathbf{S}$ è simmetrico se coincide con la propria trasposta ($\mathbf{S} = \mathbf{S}^{T}$). Queste trasformazioni sono di centrale importanza poiché, per il teorema spettrale, sono le uniche [[Trasformazioni diagonalizzabili|trasformazioni diagonalizzabili]] in base ortonormale. - **Trasformazioni antisimmetriche**: Un operatore $\mathbf{W}$ è antisimmetrico se coincide con l'opposto della propria trasposta ($\mathbf{W} = -\mathbf{W}^{T}$). Nello spazio tridimensionale, queste trasformazioni sono strettamente legate al concetto di [[Trasformazioni antisimmetriche e vettore assiale|vettore assiale]] e descrivono la velocità angolare nei moti rigidi. #### Decomposizione additiva Ogni trasformazione lineare $\mathbf{A}$ può essere decomposta in modo unico come somma di una parte simmetrica $\mathbf{S}$ e una parte antisimmetrica $\mathbf{W}$: $ \mathbf{A}=\mathbf{S}+\mathbf{W} $ Le due componenti sono definite univocamente come: - $\mathbf{S}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}+\mathbf{A}^{T}\right)$ (Parte simmetrica) - $\mathbf{W}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}^{T}\right)$ (Parte antisimmetrica) Questa scomposizione è ampiamente utilizzata nella meccanica dei continui per separare il tensore dei gradienti di deformazione in una componente che descrive la deformazione pura e una che descrive la rotazione rigida locale. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]]