Le trasformazioni antisimmetriche sono operatori lineari la cui [[Matrici|matrice]] rappresentativa coincide con l'opposto della propria [[Trasformazione trasposta|trasposta]]. ### Definizione e proprietà algebriche Sia $\mathbf{W}$ un operatore lineare su uno [[Spazio vettoriale|spazio vettoriale]] reale di dimensione $n$. Si definisce **antisimmetrico** se soddisfa la condizione: $ \mathbf{W} = -\mathbf{W}^{T} $ Una proprietà fondamentale di tali trasformazioni è che l'immagine $\mathbf{W} \mathbf{v}$ di un qualunque [[Vettori|vettore]] $\mathbf{v}$ è sempre ortogonale al vettore stesso. La dimostrazione si ottiene sfruttando le proprietà del [[Prodotto scalare|prodotto scalare]]: $ \mathbf{W} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{W}^{T} \mathbf{v} = -\mathbf{v} \cdot \mathbf{W} \mathbf{v} $ Poiché il prodotto scalare è commutativo, l'uguaglianza $\mathbf{W} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = -\mathbf{W} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}$ implica necessariamente che: $ \mathbf{W} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = 0 \quad \forall \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} $ #### Il determinante nelle dimensioni dispari Un'altra caratteristica rilevante riguarda il [[Determinante|determinante]] della matrice associata. Se la dimensione $n$ dello spazio è dispari (come nel caso fisico $n=3$), la trasformazione è necessariamente singolare. Infatti: $ \operatorname{det} \mathbf{W} = \operatorname{det} \mathbf{W}^{T} = \operatorname{det}(-\mathbf{W}) = (-1)^{n} \operatorname{det} \mathbf{W} $ Per $n$ dispari, si ha $\operatorname{det} \mathbf{W} = -\operatorname{det} \mathbf{W}$, il che impone $\operatorname{det} \mathbf{W} = 0$. Ciò implica che il nucleo della trasformazione non è banale e contiene almeno un vettore non nullo. ### Il vettore assiale in $\mathbb{R}^{3}$ Nel caso specifico dello spazio tridimensionale, esiste un isomorfismo tra lo spazio delle matrici antisimmetriche e lo spazio dei vettori. Per ogni matrice antisimmetrica $\mathbf{W}$, esiste un unico vettore $\boldsymbol{\omega}$, denominato **vettore assiale**, tale che l'azione della matrice su un vettore $\mathbf{u}$ coincida con il [[Prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]] tra il vettore assiale e $\mathbf{u}$ stesso: $ \color {orange} \begin{equation*} \mathbf{W} \mathbf{u}=\boldsymbol{\omega} \wedge \mathbf{u} \quad \forall \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{3} \end{equation*} $ Questa relazione è di importanza cruciale nella meccanica, in quanto permette di ricondurre le [[Formule di Poisson|formule di Poisson]] alla struttura algebrica delle trasformazioni antisimmetriche, dove $\boldsymbol{\omega}$ assume il significato fisico di velocità angolare. #### Relazione tra componenti Le componenti del vettore assiale $\boldsymbol{\omega} = (\omega_1, \omega_2, \omega_3)$ rispetto a una base ortonormale sono legate agli elementi $w_{ij}$ della matrice $\mathbf{W}$ dalle seguenti relazioni: - $\omega_{1} = w_{32} = -w_{23}$ - $\omega_{2} = w_{13} = -w_{31}$ - $\omega_{3} = w_{21} = -w_{12}$ Si noti come la struttura della matrice $\mathbf{W}$ sia completamente determinata da soli tre parametri indipendenti, corrispondenti alle componenti del vettore assiale: $ \mathbf{W} = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{bmatrix} $ Le relazioni tra le componenti seguono una permutazione ciclica degli indici $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$, riflettendo la natura antisimmetrica dell'operatore e le proprietà del simbolo di Levi-Civita utilizzato nella definizione del prodotto vettoriale. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]]