Una [[Trasformazioni lineari|trasformazione lineare]] si definisce diagonalizzabile se esiste una [[Basi ortogonali e ortonormali|base ortonormale]] $\{\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}\}$ nella quale la sua [[Matrici|matrice]] associata $\mathbf{A}$ assume forma diagonale. In termini di componenti, ciò significa che gli elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli: $ \color {orange} \begin{equation*} \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{A e}_{j}=0 \quad \text { se } i \neq j \quad \Longrightarrow \quad a_{i j}=\delta_{i j} \lambda_{i} \end{equation*} $ Dove $\delta_{ij}$ rappresenta il **delta di Kronecker.** Se questa condizione è soddisfatta, la base scelta prende il nome di base spettrale dell'operatore. #### Relazione con autovalori e autovettori Dalla definizione precedente deriva immediatamente che i vettori della base in cui la trasformazione si diagonalizza sono necessariamente [[Autovalori e autovettori|autovettori]] dell'operatore. Infatti, l'azione della matrice su un elemento della base produce: $ \color {green} \begin{equation*} \mathbf{A} \mathbf{e}_{i}=\lambda_{i} \mathbf{e}_{i} \end{equation*} $ In questo contesto, gli elementi diagonali $\lambda_{i}$ corrispondono agli autovalori associati. La diagonalizzabilità implica dunque che lo spazio vettoriale ammetta una base composta interamente da autovettori. #### Teorema Spettrale Nel campo dei numeri reali, esiste una correlazione biunivoca tra la diagonalizzabilità (rispetto a una base ortonormale) e la simmetria dell'operatore. Il **Teorema Spettrale** afferma infatti che le trasformazioni diagonalizzabili sono tutte e sole le trasformazioni simmetriche, ovvero quelle che coincidono con la propria [[Trasformazione trasposta|trasposta]]. Si può verificare che la simmetria è una condizione necessaria analizzando il comportamento della matrice sotto un cambio di base. Se una trasformazione è diagonalizzabile, in una qualunque altra base ottenuta tramite una [[Gruppo ortogonale|trasformazione ortogonale]] $\mathbf{Q}$, le componenti della matrice $a_{ij}^{\prime}$ soddisfano: $ a_{i j}^{\prime}=q_{i k} a_{k N} q_{j N}=q_{i k} \delta_{k N} \lambda_{k} q_{j N}=q_{i k} \lambda_{k} q_{j k}=a_{j i}^{\prime} $ L'uguaglianza $a_{ij}^{\prime} = a_{ji}^{\prime}$ conferma che la matrice è simmetrica in ogni riferimento. ==La simmetria non è dunque solo un requisito formale, ma una proprietà intrinseca dell'operatore che garantisce l'esistenza di autovalori reali e di una base di autovettori mutuamente ortogonali.== ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!meccanica Razionale#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]]