Le trasformazioni lineari *(o **applicazioni lineari**)* sono fondamentali in algebra lineare poiché permettono di rappresentare operazioni complesse in modo semplice e strutturato. La [[Matrici|matrice]] associata a una trasformazione lineare fornisce un modo compatto per esprimere come i [[Vettori|vettori]] vengono trasformati. **Trasformazione Lineare** Una trasformazione lineare è una funzione $A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ che soddisfa le seguenti proprietà: 1. Additività: $A(u + v) = A(u) + A(v)$ per ogni $u, v \in \mathbb{R}^n$. 2. Omogeneità: $A(cu) = cA(u)$ per ogni $u \in \mathbb{R}^n$ e scalare $c$. **Teorema delle Trasformazioni Lineari** **Ipotesi:** 1. $A$ è una trasformazione lineare. 2. $\{e_1, \ldots, e_n\}$ è una base ortonormale di $\mathbb{R}^n$. **Tesi:** La matrice associata alla trasformazione lineare $A$ nella base $\{e_1, \ldots, e_n\}$ è data dagli elementi $a_{ij} = e_i \cdot A e_j$ #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/kYB8IZa5AuE?si=HbDv_qt3JBopl0Sk" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> [Linear transformations and matrices | Chapter 3, Essence of linear algebra](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE?si=ECj6OWU0Xd0NX0Bh)