## Vettori I vettori sono gli elementi fondamentali di uno [[Spazio vettoriale|spazio vettoriale]], utilizzati per modellare grandezze fisiche caratterizzate da **modulo, direzione e verso.** Essi sono utilizzati in una molteplice varietà di discipline scientifiche e ingegneristiche, per esempio per costruire una descrizione sintetica e rigorosa di fenomeni cinematici e dinamici all'interno della [[!Meccanica Razionale]]. #### Definizione e rappresentazione Un v**ettore matematico** è un oggetto geometrico che rappresenta una **classe di equivalenza di segmenti orientati (equipollenza).** *In pratica, possiamo considerare un vettore $u$ come se fosse sempre applicato all'origine o in qualsiasi altro punto, indipendentemente dalla posizione dei punti iniziale e finale.* *Di conseguenza un vettore non cambia se viene trasportato parallelamente, con un movimento rigido. In meccanica, i vettori che possono essere trasportati liberamente per parallelismo sono detti **vettori liberi.*** In fisica e ingegneria, i vettori descrivono grandezze come forza, velocità e spostamento. ![[Pasted image 20260515140018.png]] La notazione può variare a seconda del contesto, considerando l'esempio in figura, potremmo scriverlo in: - **Notazione vettoriale**: $\mathbf{v}$ (grassetto) o $\vec{v}$ (con freccia, comune in fisica). - **Notazione per estremi**: $(P - O)$, dove $O$ è l'origine e $P$ il punto finale. Si può identificare l'insieme dei vettori, insieme alle operazioni definite tra di essi come [[Spazio vettoriale]]. In esso sono possibile diverse [[Operazioni vettoriali]]. #### Vettore in componenti cartesiane In un sistema di [[Coordinate cartesiane|riferimento cartesiano]] ortogonale $\mathbb{R}^3$, ogni vettore $\vec{v}$ può essere univocamente associato a una terna ordinata di numeri reali $(v_x, v_y, v_z)$. Queste rappresentano le proiezioni del vettore lungo gli assi coordinati. Le [[Operazioni vettoriali|operazioni fondamentali]] come la somma e il prodotto per uno scalare vengono eseguite componente per componente: $ \vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z) $ $ \lambda \vec{u} = (\lambda u_x, \lambda u_y, \lambda u_z) $ ![[Pasted image 20250228122521.png|300]] #### Norma e versori La **norma** (o modulo) di un vettore, indicata con $||\vec{v}||$, rappresenta la sua lunghezza geometrica ed è calcolata tramite il teorema di Pitagora esteso: $\color {orange} ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} $ Un vettore con norma unitaria ($||\vec{v}|| = 1$) è definito **versore**. Qualsiasi vettore non nullo può essere normalizzato per ottenere il versore corrispondente alla sua direzione: $ \color {green} \hat{u} = \frac{\vec{u}}{||\vec{u}||} $ #### Base canonica La rappresentazione analitica standard utilizza i versori della base canonica $\{\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\}$, orientati rispettivamente lungo gli assi $x, y, z$, dove $i = (1, 0, 0)$, $j = (0, 1, 0)$ e $k = (0, 0, 1)$. Un vettore $v$ in **componenti cartesiane** può quindi essere espresso come: $\color {green} \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k}$ Dove: - $\vec{v}$ è il vettore - $v_x, v_y, v_z$ sono le componenti scalari del vettore $\vec{v}$ - $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ sono i versori lungo gli assi $x$, $y$, $z$ rispettivamente ![[Pasted image 20240612111955.png|300]] ### Esempi ed esercizi Immagina un vettore come un'istruzione di movimento: "fai 3 metri verso Nord e 2 metri verso Est". Non importa da quale punto della stanza tu parta, se segui esattamente questa istruzione compirai lo stesso spostamento. Questo è il concetto di **vettore libero**. Se invece l'istruzione fosse "applica una forza di 10 Newton esattamente sulla maniglia della porta", il punto di applicazione diventerebbe fondamentale: questo è un **vettore applicato**. ##### Domande di teoria - Qual è la differenza formale tra un segmento orientato e un vettore? - Perché in un sistema di riferimento ortonormale la norma si calcola con la radice della somma dei quadrati delle componenti? - Cosa accade alla direzione e al verso di un vettore quando viene moltiplicato per uno scalare negativo? ##### Esercizi - **Calcolo della norma**: Dato il vettore $\vec{a} = (3, -4, 12)$, calcolarne il modulo e determinare il versore associato $\hat{a}$. - **Somma vettoriale**: Siano $\vec{u} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ e $\vec{v} = \hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$. Calcolare il vettore risultante $\vec{w} = 2\vec{u} - \vec{v}$ e la sua norma. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Algebra#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Algebra#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Algebra#Playlist#Vettori]]