Un vettore matematico è un oggetto fondamentale in matematica e fisica, utilizzato per rappresentare [[Grandezze scalari e vettoriali|grandezze vettoriali]] che hanno sia una magnitudine (o modulo) che una direzione. I **vettori** sono comunemente usati per descrivere quantità come velocità, forza e spostamento. ![[Pasted image 20250228114242.png]] Esistono diversi modi per rappresentare un vettore. Consideriamo un generico vettore $u$: - Notazione in grassetto: **u** - Notazione con punto finale $P$ e iniziale $O$ --> $(P-O)$ - Notazione con sottolineatura: $\underline{u}$ - In fisica, si utilizza spesso una freccia sopra la lettera: $\vec{u}$ È importante notare che, mentre dati due punti $O$ e $P$ esiste un unico spostamento che porta $O$ in $P$, il viceversa non è vero. Un vettore, infatti, non determina automaticamente una coppia di punti. In termini matematici, uno **spostamento (o vettore) è una classe di equivalenza di segmenti orientati.** *In pratica, possiamo considerare il vettore $u$ come se fosse sempre applicato all'origine o in qualsiasi altro punto, indipendentemente dalla posizione dei punti iniziale e finale.* *Un vettore non cambia se viene trasportato parallelamente, con un movimento rigido. In meccanica, i vettori che possono essere trasportati liberamente per parallelismo sono detti **vettori liberi.*** Si può identificare l'insieme dei vettori, insieme alle operazioni definite tra di essi come [[Spazio vettoriale]]. In esso sono possibile diverse [[Operazioni vettoriali]] #### Vettore in componenti cartesiane In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale tridimensionale: - Lo spazio tridimensionale è rappresentato dall'insieme delle terne ordinate $(x, y, z)$ di numeri reali. - Un vettore $u$ è associato al punto $P = (x_P, y_P, z_P)$ come $u = (P - O)$. - Esiste una corrispondenza biunivoca tra vettori in $\mathbb{R}^3$ e terne ordinate. - Il vettore $u$ è rappresentato come $u = (x_P, y_P, z_P)$, con $x_P, y_P, z_P$ come componenti scalari di $u$. - La somma di vettori $u = (x_P, y_P, z_P)$ e $v = (x_Q, y_Q, z_Q)$ è calcolata come somma per componenti: $u + v = (x_P + x_Q, y_P + y_Q, z_P + z_Q)$. ![[Pasted image 20250228122521.png|300]] La **norma (o modulo) di un vettore** $v$, indicata come $||v||$, è definita come la lunghezza del segmento orientato: $\color {orange} ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ ==I vettori di norma 1 sono detti **versori**.== #### Base canonica Scegliendo tre versori $i$, $j$, $k$, mutuamente ortogonali e diretti come gli assi coordinati, le loro rappresentazioni cartesiane sono $i = (1, 0, 0)$, $j = (0, 1, 0)$ e $k = (0, 0, 1)$. Essi costituiscono i vettori della **base canonica**. Un vettore $v$ in **componenti cartesiane** può essere espresso come: $\color {green} \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k}$ Dove: - $\vec{v}$ è il vettore - $v_x, v_y, v_z$ sono le componenti scalari del vettore $\vec{v}$ - $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ sono i versori lungo gli assi $x$, $y$, $z$ rispettivamente ![[Pasted image 20240612111955.png|300]] *Questa notazione è generalmente preferita in fisica poiché evidenzia chiaramente la base rispetto alla quale abbiamo scomposto il vettore. Una notazione alternativa anch'essa molto comune, adottata quando risulta comodo lavorare con gli indici: (e1, e2, e3)* #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/fNk_zzaMoSs?si=WZ0evVOA5h5cM4wV&amp;start=1" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen> </iframe> </div> [Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs?si=q7y50iTQCUVGd81g)