I [[Vettori|vettori liberi]] possono essere trasportati parallelamente tramite una traslazione rigida, ma questo non è possibile per un **vettore applicato.** Un vettore applicato è definito come una coppia ($P, \vec{u}$), composta da un punto di applicazione P e un vettore ($\vec{u}$). Nel caso di vettori applicati ha notevole importanza introdurre il concetto di **momento.** #### Momento Il momento di un vettore applicato ($P, \vec{u}$), rispetto a un punto O, detto polo, è il vettore ($\vec{M}_O$) definito come: $ \color {orange} \vec{M}_O = (P-O) \times \vec{v} $ ##### Proprietà del Momento **Dipendenza dal Polo:** Il momento del vettore ($P, \vec{u}$), dipende dalla scelta del polo. Se consideriamo due poli O e O', la relazione è data da: $\vec{M}_{O'} = (P-O') \times \vec{v} = \vec{M}_O + (O-O') \times \vec{v}$ Infatti: $M_{O'}= (P-O')\times \vec v = [(P-O)+(O-O')\times \vec v] =M_O + (O-O')\times \vec v$ Questa formula, nota come **formula del trasporto**, permette di calcolare ($\vec{M}_{O'}$) una volta noto ($\vec{M}_O$). Il momento rimane invariato se il polo viene spostato lungo una retta parallela al vettore $\vec{v}$ **Invarianza per Traslazione:** Il momento di un vettore non cambia se il vettore $\vec{v}$ viene traslato lungo la sua retta d'azione. Questo permette di semplificare il calcolo del momento traslando $\vec v$ fino a che i vettori siano perpendicolari, sfruttando il fatto che $\sin 90^\circ = 1$ ![[Pasted image 20250303124059.png|400]] Il segmento $\color {orange} OP^{\perp} = OP \sin \gamma = b$ è detto **braccio del momento**. In questo modo la norma del vettore momento si esprime come il prodotto della norma del vettore $\vec v$ per il braccio: $ \color {green} ||\vec{M}_O|| = ||\vec{v}|| \cdot b $ *Il verso del momento è determinato dalla regola della mano destra: se $\vec{v}$ induce una rotazione antioraria attorno al polo O, il momento è diretto verso l'esterno del foglio. In caso contrario, per una rotazione oraria, il verso è entrante nel foglio.* #### Coppia Per comprendere la nozione di coppia concentrata, consideriamo una coppia di vettori paralleli di identico modulo e verso contrario: $(P, -\vec{v})$ e $(Q, \vec{v})$ applicati in due punti distinti P e Q. La terna ($P, Q, \vec{v}$) definisce un piano. La figura seguente rappresenta questa coppia di forze nel suo piano d'azione: ![[Pasted image 20250303124558.png|400]] Il momento della coppia è la somma dei momenti dei singoli vettori: $ \vec{M}_O = (P-O) \times \vec{v} + (Q-O) \times (-\vec{v}) $ Si può riscrivere come: $ \vec{M}_O = (P-Q) \times \vec{v} $ *Questo risultato è indipendente dal polo O utilizzato per il calcolo, a differenza del momento di un singolo vettore.*