Si consideri l'equazione lineare nell'incognita vettoriale $\mathbf{v}$: $ \mathbf{a} \wedge \mathbf{v} = \mathbf{b} $ dove $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$ sono [[Vettori|vettori]] assegnati con $\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$. Per le proprietà intrinseche del [[Prodotto vettoriale|prodotto vettoriale]], il vettore risultante $\mathbf{b}$ deve essere necessariamente ortogonale a entrambi i fattori $\mathbf{a}$ e $\mathbf{v}$. Pertanto, una condizione necessaria e sufficiente affinché l'equazione ammetta soluzioni è che il [[Prodotto scalare|prodotto scalare]] tra i termini noti sia nullo: $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $ Se tale condizione di ortogonalità non è soddisfatta ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \neq 0$), l'equazione risulta impossibile. #### Derivazione analitica della soluzione Per isolare il vettore $\mathbf{v}$, si procede moltiplicando vettorialmente entrambi i membri dell'equazione per il vettore $\mathbf{a}$ a sinistra: $ \mathbf{a} \wedge (\mathbf{a} \wedge \mathbf{v}) = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} $ Utilizzando l'identità del triplo prodotto vettoriale, nota come formula di Lagrange, si ha: $ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{v})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a})\mathbf{v} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} $ Riorganizzando i termini per esplicitare $\mathbf{v}$, otteniamo: $ a^2 \mathbf{v} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{v})\mathbf{a} - \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} $ Dividendo per il modulo quadro $a^2 = |\mathbf{a}|^2$, la soluzione assume la forma: $ \mathbf{v} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}}{a^2} \mathbf{a} + \frac{\mathbf{b} \wedge \mathbf{a}}{a^2} $ #### Soluzione generale e interpretazione geometrica Poiché il termine $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{v})$ non è vincolato dall'equazione originale (la proiezione di $\mathbf{v}$ lungo $\mathbf{a}$ scompare nel prodotto vettoriale), esso può essere sostituito da un parametro scalare arbitrario $\lambda \in \mathbb{R}$. La soluzione generale dell'equazione è dunque: $ \mathbf{v} = \lambda \mathbf{a} + \frac{\mathbf{b} \wedge \mathbf{a}}{a^2} $ Geometricamente, questa espressione identifica una retta nello spazio: - **Componente particolare**: Il termine $\frac{\mathbf{b} \wedge \mathbf{a}}{a^2}$ rappresenta la soluzione di norma minima, situata nel piano ortogonale ad $\mathbf{a}$. - **Componente omogenea**: Il termine $\lambda \mathbf{a}$ rappresenta il nucleo dell'operatore lineare $(\mathbf{a} \wedge \cdot)$, indicando che è possibile sommare a $\mathbf{v}$ qualsiasi vettore parallelo ad $\mathbf{a}$ senza alterare il risultato del prodotto vettoriale.