Cambio di variabile - Digital Garden

Consideriamo una regione misurabile $Ω \subset R^2$ e una funzione f continua e limitata su Ω. Sotto tali ipotesi f è integrabile in Ω e possiamo chiederci come si trasforma $\int_Ω f$ in presenza di un cambiamento di variabile o trasformazione del piano. ![[Pasted image 20240524090908.png|400]] La relazione di proporzionalità viene usualmente scritta in forma simbolica $ dxdy=|detJ\Phi (u,v)|dudv $ Teorema per il calcolo di integrali attraverso un cambiamento di variabile Ipotesi 1. Siano $\Omega, \Omega'$ regioni misurabili di R^2 2. Sia $\Phi:\Omega' ->\Omega$ un cambiamento di variabili in Omega con $x=\varphi(u,v)$ e $y=\psi(u,v)$ componenti 3. Sia f(x,y) continua e limitata in Omega Tesi: Allora vale la seguente equazione $ \color {green} \iint_\Omega f(x,y) dxdy=\iint_{\Omega'}f(\varphi(u,v),\psi(u,v))|detJ\Phi (u,v)|dudv $ dove J è la [[Metodo dello Jacobiano|matrice jacobiana]] Esempio ![[Pasted image 20240822133610.png|400]] ![[Pasted image 20240822133625.png|400]] #### Coordinate polari Gli integrali doppi sono talvolta più facili da valutare se si passa alle coordinate polari. Quando abbiamo definito l'integrale doppio di una funzione su una regione R nel piano cartesiano xy, abbiamo iniziato tagliando R in rettangoli i cui lati erano paralleli agli assi delle coordinate. Queste sono le forme naturali da utilizzare perché i loro lati hanno valori costanti di x e valori costanti di y. In coordinate polari, la forma naturale è un "rettangolo polare" i cui lati hanno valori costanti di r e $\theta$. Per evitare ambiguità nel descrivere la regione di integrazione con le coordinate polari, utilizziamo i punti di coordinate polari $(r, \theta)$ dove r > 0. ![[Pasted image 20240906151539.png|400]] La procedura per trovare i limiti di integrazione in coordinate rettangolari funziona anche per le coordinate polari. ![[Pasted image 20240906151655.png|400]] Area in coordinate polari L'area di una regione chiusa e delimitata R nel piano delle coordinate polari è $ \color {green} A=\iint_Rr\;drd\theta $ La procedura per trasformare un integrale cartesiano $\iint ƒ(x, y) dx dy$ in un integrale polare prevede due passaggi. Innanzitutto si sostituiscono $x = r cos\theta$ e $y = r sin\theta$ e si sostituisce dxdy con $r dr d\theta$ nell'integrale cartesiano. Poi si definiscono i limiti polari di integrazione per il confine di R. Passaggio a coordinate polari La procedura per trasformare un integrale cartesiano $\iint ƒ(x, y) dx dy$ in un integrale polare prevede due passaggi: 1. Innanzitutto si sostituiscono $x = r cos\theta$ e $y = r sin\theta$ e si sostituisce dxdy con $r dr d\theta$ nell'integrale cartesiano. 2. Poi si definiscono i limiti polari di integrazione per il confine di R A questo punto l'integrale diventa: $ \color {green}\iint_R f(x,y) dxdy=\iint_{R'}f(r\,cos\theta, r\,sin\theta) r\;drd\theta $ --- Esempio ![[Pasted image 20240906152700.png|500]] Dimostrazione passaggio a coordinate polari ![[Pasted image 20240909190948.png|400]] --- ### **5 Cambio di variabile con matrice Jacobiana in 3d e dimostrazione di passaggio a coordinate ellittiche e cilindriche** Attraverso un cambiamento di variabile possiamo sfruttare un metodo che sostituisce gli integrali complicati con altri più facili da valutare. ![[Pasted image 20240906164611.png|400]] ![[Pasted image 20240906164630.png|400]]