*Se A e B sono due punti in una regione aperta D nello spazio, l'integrale di F lungo C da A a B per un campo vettoriale F definito su D dipende solitamente dal percorso C seguito.* *Per alcuni campi vettoriali speciali, tuttavia, il valore dell'integrale è lo stesso qualunque sia il percorso da A a B.* **Campo conservativo** Sia F un campo vettoriale definito su una regione aperta D nello spazio e si supponga che per due punti qualsiasi A e B in D l'integrale di linea lungo un percorso C da A a B in D sia lo stesso su tutti i percorsi da A a B. Allora **l'integrale di linea è indipendente dal percorso in D e il campo F è conservativo su D.** $ \color {orange} \int_{C_1} \vec F \cdot d\vec r =\int_{C_2} \vec F \cdot d\vec r \quad C_1,C_2\in[A,B] $ Se F è un campo conservativo allora è possibile associare ad F una funzione scalare della distanza dai due punti, che ci restituisce il valore dell'integrale di linea ![[Pasted image 20240907102324.png|400]] ![[Pasted image 20240907102545.png|400]] ![[Pasted image 20240907102713.png|400]] ![[Pasted image 20240907102748.png|400]] **Condizione per campo conservativo** Sia il campo vettoriale f di classe C^1 in Omega, con Omega un aperto semplicemente connesso (non ha buchi), allora f è conservativo solo se irrotazionale $\nabla\times \vec F= rot \vec F = \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k \\ \frac \partial {\partial x} & \frac \partial {\partial y}&\frac \partial {\partial z} \\ F_x&F_y&F_z \end {vmatrix} = 0 \quad \rightarrow \vec F \;è \;conservativo $ #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/1fvflEiCky4?si=T78JSaBLOjqSB18L" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> [Perché un Campo Conservativo deve essere Irrotazionale?](https://youtu.be/1fvflEiCky4?si=opreyKY6vqtLwwxZ)