Il concetto di **limite** è fondamentale per comprendere l'evoluzione dinamica dei valori assunti da una funzione in corrispondenza ad elementi che si avvicinano a un punto specifico $x_0$, senza però mai raggiungerlo. Il limite descrive quindi il comportamento della funzione in prossimità di un punto, che può essere anche $+\infty$ o $-\infty$. #### Idea e caratterizzazione del limite Consideriamo una funzione $ƒ(x)$ mentre $x$ si avvicina a un valore $c$ (senza mai raggiungerlo). Vogliamo affermare che $ƒ(x)$ rimane entro un certo intervallo da $L$ quando $x$ è sufficientemente vicino a $c$. Tuttavia, è necessario garantire che $ƒ(x)$ non si discosti da $L$ mentre $x$ si avvicina a $c$. Per ogni tolleranza di errore $\epsilon$, possiamo determinare una distanza $\delta$ tale che, mantenendo $x$ entro questo intervallo, $ƒ(x)$ rimanga entro la tolleranza $\epsilon$ da $L$. ![[Pasted image 20250321124731.png|500]] ==Questo porta alla definizione formale di limite:== Sia $ƒ(x)$ definito su un intervallo aperto attorno a $c$, eccetto eventualmente in $c$ stesso. Diciamo che il **limite** di $ƒ(x)$ esiste quando $x$ tende a $c$ e fornisce il numero $L$: $ \color {orange} \lim_{x \to c} f(x) = L $ **se**, per ogni $\epsilon > 0$, esiste un numero $\delta > 0$ tale che: $ \color {green} |f(x) - L| < \epsilon \quad \text{quando} \quad |x - c| < \delta $ *Per visualizzare la definizione, immaginare di lavorare un albero cilindrico con una tolleranza stretta. Il diametro dell'albero viene determinato ruotando un quadrante su un'impostazione misurata da una variabile x.* ![[Pasted image 20250321124822.png|500]] #### Limite sinistro e destro Diciamo che la funzione f ha **limite destro** nel punto c e scriviamo $ \lim_{x \to c^+} f(x) = L $ Se per ogni $\epsilon > 0$, esiste un numero $\delta > 0$ tale che: $ |f(x) - L| < \epsilon \quad \text{quando} \quad c < x < c + \delta $ Analogamente, la funzione $f$ ha un **limite sinistro** nel punto $c$ se: $ \lim_{x \to c^-} f(x) = L $ Se per ogni $\epsilon > 0$, esiste un numero $\delta > 0$ tale che: $ |f(x) - L| < \epsilon \quad \text{quando} \quad c - \delta < x < c $ ![[Pasted image 20250321124853.png|500]] ==Una funzione ammette limite in x_0 se e solo se entrambi i limiti, sinistro e destro, esistono e coincidono.== #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/kfF40MiS7zA?si=lPgxT0LVZTtTlTf8&amp;start=6" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> [Limits, L'Hôpital's rule, and epsilon delta definitions | Chapter 7, Essence of calculus](https://youtu.be/kfF40MiS7zA?si=hmv_qKRD9l9WBI3R)