Curve - Digital Garden

*Per calcolare la massa totale di un filo che giace lungo una curva nello spazio, o per trovare il lavoro compiuto da una forza variabile che agisce lungo tale curva, abbiamo bisogno di una nozione più generale di integrale.* *Dobbiamo integrare su una curva C piuttosto che su un intervallo (a,b) di una funzione.* *Questi integrali più generali sono chiamati integrali di linea o curvilinei.* *Prima di definire l'integrale dobbiamo però descrivere precisamente gli elementi su cui andremo a fare l'integrale: le curve.* #### Curve *Una funzione vettoriale su un insieme di dominio D è una regola che assegna un vettore nello spazio a ogni elemento di D. Se il dominio è un intervallo di numeri reali, il grafico della funzione rappresenta una curva nello spazio. Se il dominio è una regione del piano, allora il grafico rappresenterà una superficie nello spazio.* Possiamo quindi dire che una curva è una funzione del tipo $f:I \rightarrow R^n \quad con \; I\le R \; connesso \quad e\; f\in C^{(I)}$ ![[Pasted image 20240827164533.png|600]] - Il **Sostegno di una curva** è il codominio di f - Una **curva è continua** se $x_1=f_1(t), x_2=f_2(t), x_n=f_n(t)$ - Una **curva è chiusa** se avendo $I=[a,b], \quad f:[a,b]\rightarrow R^n$ è continua lungo tutto l'intervallo e assume valori identici negli estremi dell'intervallo $f(a)=f(b)$ - Il **cammino** di una curva è la rappresentazione parametrica di una curva nello spazio. In altre parole, è una funzione che descrive come ci si muove lungo la curva, specificando la posizione di ogni punto sulla curva in funzione di un parametro. Un cammino è una funzione $γ:I→R^n$ dove: - I è un intervallo della retta reale, ad esempio $I=[a,b]$ - γ(t) è una funzione continua che associa ad ogni valore del parametro t un punto nello spazio R^n. Ad esempio, per una curva nello spazio bidimensionale R^2 --> $\gamma (t) = (x(t),y(t))$ Una **curva è semplice** se la curva è iniettiva all'interno $\color {orange} \forall \; t_1,t_2\in [a,b] =>f(t_1)\not = f(t_2) \quad con \;t_1\not=t_2 $ Una curva si dice poi **generalmente semplice** se esiste una divisione dell'intervallo per cui la curva in ogni intervallo è continua. Una **curva è regolare** se è semplice ed esiste una sua rappresentazione parametrica. Una curva è **generalmente regolare** se esiste una divisione per cui la curva in ogni intervallo è regolare. Esempio ![[Pasted image 20240827171157.png|600]] #### Lunghezza di una curva La lunghezza di una curva liscia gamma(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, in un intervallo finito ab è data da: $ \color{orange} L_\gamma= \int^b_a \sqrt {\bigg(\frac {dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac {dy}{dt}\bigg)^2 +\bigg(\frac {dz}{dt}\bigg)^2 } dt $ #### Ascissa curvilinea L’ascesa curvilinea è la funzione s(t) che varia in funzione del tempo e dà la distanza percorsa al variare di t. $ s:[a,b] \rightarrow[0,L_\gamma] $ Si trova utilizzando la stessa formula per la lunghezza di una curva, mettendo come posizione iniziale l'origine e posizione finale la lunghezza della curva. Mi descrive la lunghezza di una curva nel tempo. Avrà un tratto infinitesimo ds dato da $ds=\sqrt {\bigg(\frac {dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac {dy}{dt}\bigg)^2 +\bigg(\frac {dz}{dt}\bigg)^2 }dt$ e la funzione s(t) si ottiene integrando lo spostamento infinitesimo tra s(a)=0 e $s(b)=L_\gamma$ $ \color {orange} s(t)=\int_0^{L_\gamma} ds= \int_0^{L_\gamma} \sqrt {\bigg(\frac {dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac {dy}{dt}\bigg)^2 +\bigg(\frac {dz}{dt}\bigg)^2 }dt $ ### Approfondimento --- - [[Risorse#Libri di testo|Meccanica Razionale. Biscari, Ruggeri]] ![[0 Meccanica_Razionale_Paolo_Biscari,_Tommaso_Ruggeri#A.2) Curve]]