Il **tasso di variazione** di una [[Funzioni|funzione]] rappresenta la velocità con cui la funzione cambia rispetto a una variabile indipendente. $ \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} $ *In questo caso il rapporto tra le due variazioni (rapporto incrementale) ci fornisce un **tasso di variazione medio** nell'intervallo considerato, equivalente alla secante tra i due punti dell'intervallo.* ==Siamo quindi interessati a trovare il **tasso di variazione istantaneo**, ovvero la **derivata nel punto**, la quale ci fornisce il coefficiente angolare della tangente nel punto considerato.== ![[Pasted image 20260508154623.png]] *tasso di variazione medio tra $A$ e $B$ $\Rightarrow$ coefficiente della secante tra $i$ due punti* La **derivata in un punto** si ottiene calcolando il limite del rapporto incrementale quando l'intervallo tende a zero: $ \color {orange} f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x->x_{0}} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim _{x->x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} $ #### Significato Geometrico La derivata fornisce una misura della pendenza della retta tangente alla curva della funzione in un punto specifico. Se la derivata è positiva, la funzione sta aumentando in quel punto; se è negativa, la funzione sta diminuendo. Il valore assoluto della derivata rappresenta l'intensità di questa variazione. ![[Pasted image 20260508154559.png]] *La derivata nel punto x_0 rappresenta quindi il coefficiente angolare della retta tangente nel punto considerato.* Di conseguenza, una funzione è derivabile in $x_0$ se e solo se il grafico ammette una retta tangente non verticale nel punto $P_0$. #### Funzione derivata **Se una funzione $f$ è derivabile in tutti i punti del suo dominio, si dice che $f$ è derivabile.** Si può quindi definire una nuova funzione, la **funzione derivata**, che associa ad ogni punto $x_0$ il valore della derivata nel punto $f'(x_0)$. L'operatore lineare funzione derivata è definito come $f': I \rightarrow \mathbb{R}$ con $x_0 \rightarrow f'(x_0)$. Una condizione necessaria per la derivabilità è che $f$ sia [[Funzioni continue|continua]] in $x_0$. #### Derivate di funzioni elementari | Funzione | Derivata | | :--- | :--- | | $x^n$ | $n x^{n-1}$ | | $a^x$ | $a^x \ln a$ | | $e^x$ | $e^x$ | | $\ln x$ | $1 / x$ | | $\sin x$ | $\cos x$ | | $\cos x$ | $-\sin x$ | | $\tan x$ | $1 / \cos^2 x$ | | $\cot x$ | $-1 / \sin^2 x$ | | $\arcsin x$ | $1 / \sqrt{1-x^2}$ | | $\arccos x$ | $-1 / \sqrt{1-x^2}$ | --- > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Analisi#Risorse#Derivata]]