*Il concetto di differenziabilità per le funzioni di più variabili è più complicato che per le funzioni a una sola variabile perché un punto del dominio può essere avvicinato lungo più più di un percorso.* **Condizioni per la differenziabilità** **Ipotesi** 1. f continua con [[Derivate parziali|derivate parziali]] continue in (x_0, y_0) 2. Esiste il [[Operatori vettoriali|gradiente]] in (x_0, y_0) **Tesi:** Allora f è differenziabile se lo scostamento $\Delta z= f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)$ soddisfa un'equazione della forma $ \color {green} \Delta z = ƒ_x(x_0 , y_0)\Delta x + ƒ_y(x_0 , y_0)\Delta y + \epsilon_1\Delta x + \epsilon_2\Delta y \quad \quad con\; \epsilon_1,\epsilon_2\rightarrow 0 \;quando\; \Delta x,\Delta y\rightarrow 0 $ ==Chiamiamo **ƒ differenziabile** se è differenziabile in ogni punto del suo dominio, e diciamo che il suo **grafico è una superficie liscia.**== A quel punto possiamo chiamare epsilon_1 e epsilon_2 tendono a zero e possiamo quindi scrivere il differenziale come: $ \color {orange} dz =df(x,y)=df= ƒ'_x(x_0 , y_0)dx + ƒ'_y(x_0 , y_0)d y $ **Corollari** - Se le derivate parziali sono entrambi continue lungo una regione aperta A di R, allora f è differenziabile in ogni punto di A - Se una funzione è differenziabile in (x_0, y_0) allora è continua nello stesso punto *Entrambe le proposizioni dei corollari non sono invertibili, la continuità non implica la differenziabilità, come mostra il seguente esempio.* Funzione continua ma non differenziabile: $f:R^2\rightarrow R$ definita da $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ Si può verificare che essa è continua in (0,0) ma non è differenziabile nello stesso punto <div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div> #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/g-tN7m4ia78?si=lkz3vqIDBZt5ag-C" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> [La Differenziabilità NON è il Piano Tangente: Analisi della sua Formula](https://youtu.be/g-tN7m4ia78?si=G9GkK4qZ7mr8Ud9I)