Un'**[[Equazioni differenziali|equazione differenziale]] del primo ordine** si dice a **variabili separabili** se può essere espressa nella forma $\color {orange} \dot{y}(t)=a(t) b(y)$ Il [[Equazioni differenziali|problema differenziale]] $ \dot{y}(t)=a(t) b(y), \quad y\left(t_{0}\right)=y_{0} $ ammette una e una sola soluzione in un intervallo aperto contenente $t=t_{0}$ se la funzione a è **continua** e $b$ è $C^{1}$ (vale a dire se è derivabile con derivata continua). Inoltre, se $b\left(y_{0}\right)=0$ la soluzione è costante: $y(t) \equiv y_{0}$ per ogni $t$. Se invece $b\left(y_{0}\right) \neq 0$, la soluzione soddisfa $ \color {green} \int_{y_{0}}^{y(t)} \frac{d u}{b(u)}=\int_{t_{0}}^{t} a(\tau) d \tau $ Le equazioni differenziali a variabili separabili sono di interesse meccanico nello studio di sistemi sui quali agiscano forze dipendenti dalla velocità, e nessuna forza dipendente dalla posizione. In tal caso l'equazione $F(v)=m a$ diventa un'equazione a variabili separabili nella incognita $v(t)$ ##### Esempio Determinare il moto di un corpo sottoposto ad una forza di tipo viscoso $F(v)=-\beta v(t)$, dove $v(t)$ è la velocità del corpo al tempo $t$, e $\beta$ è un coefficiente di resistenza per attrito viscoso/ *In questo esempio, la costante di viscosità $\beta$ è considerata dipendente dal tempo, specificamente $\beta = mkt$, dove $m$ è la massa del corpo e $k$ è una costante.* **Soluzione** $ \begin{aligned} & m a(t)=-\beta v(t) \quad con \;\beta=m k t \\ & m v^{\prime}(t)=-\beta v(t) \\ & v^{\prime}(t)=-\frac{\beta}{m} v(t) \\ & \frac{v^{\prime}(t)}{v(t)}=-k t \quad con\; v(t)=u \\ & \int_{v_0}^{v(t)} \frac{d u}{u}=-\int_0^t k \tau d \tau \\ & {[\ln u]_{v_0}^v=-k\left[\frac{\tau^2}{2}\right]_0^t} \\ & \ln \left(\frac{v}{v_0}\right)=-k \frac{t^2}{2} \\ & v(t)=v_0 e^{-\left(\frac{k t^2}{2}\right)} \end{aligned} $ --- > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]]