Un [[Equazioni differenziali|equazione differenziale]] lineare è una equazione in cui tutte le funzioni incognite sono semplici, quindi non elevate a potenza. $\color {orange} a_{n}(t) y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t) y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_{1}(t) \dot{y}(t)+a_{0}(t) y(t)=f(t) $ Un'equazione differenziale lineare si dice **omogenea** se il **termine noto $f(t)$ è nullo**, assume quindi la forma $ a_{n}(t) y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t) y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_{1}(t) \dot{y}(t)+a_{0}(t) y(t)=0 $ Si dice invece a **coefficienti costanti** se i coefficienti $\left\{a_{k}, k=0,1, \ldots, n\right\}$ non dipendono dal tempo. #### Ricerca delle soluzioni Le soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine $n$ formano uno **spazio vettoriale** di ordine $n$, nel senso che sono tutte e sole le **combinazioni lineari** di $n$ soluzioni fondamentali $\left\{y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)\right\}$. Tutte le soluzioni di un'equazione differenziale lineare non omogenea di ordine $n$ sono esprimibili come somma di una qualunque soluzione particolare $y_{\mathrm{p}}(t)$ più una delle soluzioni dell'equazione differenziale lineare omogenea associata (quella cioè che si ottiene eliminando il termine noto $f(t)$). ==Il problema della determinazione delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare si può quindi separare in due parti:== 1. la ricerca di $n$ **soluzioni fondamentali** dell'equazione omogenea associata 2. la ricerca di una **soluzione particolare**. 3. la **soluzione generale** è data dalla combinazione lineare delle precedenti