Consideriamo il [[Problema differenziale]] $ \color {orange} \begin{equation*} \dot{y}(t)+a(t) y(t)=f(t), \quad y\left(t_{0}\right)=y_{0} . \tag{A.32} \end{equation*} $ L'[[Equazioni differenziali lineari|equazione omogenea associata]] è un'[[Equazioni differenziali a variabili separabili|equazione a variabili separabili]], la quale ha per soluzione quella che viene chiamata **soluzione generale**: $\color {green} y_{g}(t)=k\mathrm{e}^{-A(t)}$ dove $A(t)=\int a(t) d t$ e $k$ è una costante che si determina dopo aver trovato la soluzione completa imponendo la condizione iniziale. La **soluzione particolare** dell'equazione differenziale in (A.32) è data da $ \color {green} y_{\mathrm{p}}(t)=F(t) \mathrm{e}^{-A(t)}, \quad \text { con } \quad F(t)=\int f(t) \mathrm{e}^{A(t)} d t $ La **soluzione completa** è infine $\color {green} y(t)=y_{\mathrm{p}}(t)+ y_{g}(t)$ #### Metodo della somiglianza La soluzione particolare dell'equazione può essere trovata anche con il metodo della somiglianza, quando il termine noto $f(t)$ ha una forma "semplice", ad esempio polinomiale, esponenziale o trigonometrica. In questo caso si cerca una soluzione particolare $y_p(t)$ che abbia una struttura analoga a quella di $f(t)$; ad esempio: - se $f(t)=k$ è costante, si prova $y_p(t)=$ $Y_0$ costante - se $f(t)=\alpha \sin (\omega t)+\beta \cos (\omega t)$, si prova $ y_p(t)=A \sin (\omega t)+B \cos (\omega t) ; $ - se $f(t)=P_n(t)$ è un polinomio di grado $n$, si prova un polinomio $y_p(t)$ dello stesso grado con coefficienti incogniti. Successivamente si sostituisce la forma che ci aspettiamo dall'equazione particolare nell'equazione differenziale per trovare i parametri ignoti. --- > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]]