Un [[Equazioni differenziali lineari del primo ordine|equazione differenziale lineare]] del **secondo ordine** è una relazione del tipo: $ \color {orange} a\ddot x(t)+ b \dot x(t)+c x(t)=f(t)$ dove - x è una funzione di t --> x(t) - a e b sono funzioni di t - c è un numero reale Equazioni del moto di questo tipo rappresentano il moto di un punto sottoposto alle seguenti [[Forza e quantità di moto|forze]]: - una forza di resistenza $F_{\mathrm{r}}=-b \dot{x}$, con coefficiente resistivo $b$ - una forza elastica $F_{\mathrm{el}}=-c x$, con costante elastica $c$ - una forza esterna $f(t)$, eventualmente dipendente dal tempo, spesso detta forzante. Come per le [[Equazioni differenziali lineari del primo ordine]], la ricerca della soluzione può essere scomposta in due parti: 1. la ricerca di due **soluzioni generali**, ricavate dall'analisi dell'[[Equazioni differenziali lineari|equazione omogenea]] associata, che ci fornisce un insieme $x_g(t)$ costituito dalle combinazioni lineari di un sistema fondamentale di x1 e x2, che è quindi uno [[Spazio vettoriale|spazio vettoriale]] bi-dimensionale: $ x_{g}(t)=\left\{c_{1} x_{1}+c_{2} x_{2} \quad c_{1}, c_{2} \in R\right\} $dove i coefficienti c1 e c2 si trovano dopo aver trovato la soluzione completa, e solo se vengono fornite almeno due condizioni al contorno tramite risoluzione del [[Problema differenziale]] 2. la ricerca di una soluzione particolare $x_p (t)$, dipendente dalla forma del termine noto $f(t)$ La **soluzione completa** si ottiene poi come combinazione lineare delle due. #### Soluzione generale La struttura delle soluzioni generali dipende dalle radici $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ del **polinomio caratteristico associato** all'equazione in forma omogenea, ottenuto sostituendo le variabili incognite con un parametro lambda $ \color {green} \begin{equation*} a \lambda^{2}+b \lambda+c=0 \tag{A.34} \end{equation*} $ *Sottolineiamo che nell'esempio appena illustrato i tre coefficienti $a, b, c$ sono non negativi, il che implica che la parte reale delle radici di (A.34) sarà certamente non positiva.* Questa è un'[[Equazioni di secondo grado|equazione di secondo grado]] e ha soluzioni distinte in base al valore del delta. - Se $\lambda_{1} \neq \lambda_{2} \in \mathbb{R}$ (vale a dire $b^{2}-4 a c>0$ ) le soluzioni fondamentali sono $ \color {green} x_{1}(t)=\mathrm{e}^{\lambda_{1} t} \quad \mathrm{e} \quad x_{2}(t)=\mathrm{e}^{\lambda_{2} t} $ - Se $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda \in \mathbb{R}$ (vale a dire $b^{2}-4 a c=0$ ) le soluzioni fondamentali sono $ \color {green} x_{1}(t)=\mathrm{e}^{\lambda t} \quad \text { e } \quad x_{2}(t)=t \mathrm{e}^{\lambda t} $ - Se $\lambda_{1,2}=\alpha \pm \mathrm{i} \beta \in \mathbb{C}$ (vale a dire $b^{2}-4 a c<0$ ) le soluzioni fondamentali sono $\color {green} x_{1}(t)=\mathrm{e}^{\alpha t} \cos \beta t \quad \mathrm{e} \quad x_{2}(t)=\mathrm{e}^{\alpha t} \sin \beta t $ Riassumendo abbiamo: | | Soluzioni | Soluzione generale | | :--------: | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------: | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------: | | $\Delta>0$ | Due soluzioni reali e distinte $\lambda_{1}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \quad \text { e } \quad \lambda_{2}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ | $x_{g}=\left\{c_{1} e^{\lambda_{1} t}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} \quad \text { con } c_{1}, c_{2} \in R\right\}$ | | $\Delta=0$ | Due soluzioni reali e coincidenti $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda=\frac{-b}{2a}$ | $x_{g}=\left\{\left(c_{1}+c_{2} t\right) e^{\lambda t} \quad \text { con } c_{1}, c_{2} \in R\right\}$ | | $\Delta<0$ | Due soluzioni complesse e coniugate $\lambda_{1,2}=\alpha \pm i \beta$ | $x_{g}=\left\{c_{1} e^{\alpha t} \cos \beta t+c_{2} e^{\alpha t} \sin \beta t \quad \text { con } c_{1}, c_{2} \in R\right\}$ | *Dall'analisi del segno precedentemente effettuata possiamo ricavare che nelle applicazioni suddette le soluzioni fondamentali saranno limitate per ogni $t$. Se inoltre la parte reale delle radici risulta strettamente negativa (il che succede se $b>0$ ), le soluzioni fondamentali tenderanno a zero all'aumentare del tempo. Per questo motivo queste soluzioni vengono spesso denominate **transienti.*** #### Soluzione particolare La ricerca di una soluzione particolare è un metodo complesso per il quale ci sono due principale tecniche risolutive, a cui rimando altre fonti: - [Metodo della somiglianza](https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/UndeterminedCoefficients.aspx) - [Variazione dei parametri](https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/VariationofParameters.aspx) #### Soluzione completa La **soluzione completa** è una combinazione lineare delle due $x(t)=x_g(t)+x_p(t)$ dove i coefficienti c1 e c2 della **soluzione generale** si trovano solo se vengono fornite almeno due condizioni al contorno tramite risoluzione del [[Problema differenziale]]. --- > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]]