> [!Info]- Legenda > - $\sup$: Estremo superiore > - $\inf$: Estremo inferiore > - $\mathbb{R}$: Insieme dei numeri reali > - $E$: Insieme di riferimento > - $f$: Funzione > - $A$: Dominio della funzione --- #### Per Insiemi ##### Estremo Superiore ($s = \sup E$) L'**estremo superiore** di un [[Insiemi|insieme]] $E$ è un numero $s$ appartenente a $\mathbb{R}$ che soddisfa le seguenti condizioni: 1. $s \geq x$ per ogni $x \in E$. 2. $s \leq k$ per ogni $k$ che è un [[Maggioranti e minoranti|maggiorante]] di $E$. *In altre parole, $s$ è il più piccolo tra i maggioranti di $E$.* ##### Estremo Inferiore ($i = \inf E$) L'**estremo inferiore** di un insieme $E$ è un numero $i$ appartenente a $\mathbb{R}$ che soddisfa le seguenti condizioni: 1. $i \leq x$ per ogni $x \in E$. 2. $i \geq k$ per ogni $k$ che è un minorante di $E$. *In altre parole, $i$ è il più grande tra i minoranti di $E$.* **Se esistono, l'estremo superiore e l'estremo inferiore di un insieme sono unici.** #### Per Funzioni Consideriamo una [[Funzioni|funzione]] $f$ definita su un insieme $A$ con valori in $\mathbb{R}$. **La funzione $f$ è limitata superiormente se il suo codominio è limitato superiormente.** Ciò significa che esiste un numero $s$ in $\mathbb{R}$ tale che: 1. $s \geq f(x)$ per ogni $x \in A$. In questo caso, l'**estremo superiore** della funzione è: $\sup f = \sup (f(A))$ **La funzione $f$ è limitata inferiormente se il suo codominio è limitato inferiormente.** Ciò significa che esiste un numero $i$ in $\mathbb{R}$ tale che: 1. $i \leq f(x)$ per ogni $x \in A$. In questo caso, l'**estremo inferiore** della funzione è: $\inf f = \inf (f(A))$