Le **funzioni razionali** possono essere decomposte in funzioni razionali elementari utilizzando le **Formule di Hermite.** Questo processo è utile quando si desidera calcolare l'integrale di una funzione razionale, poiché permette di scomporre la funzione in termini più semplici prima di applicare i metodi classici di integrazione. Per scrivere una funzione razionale $f(x) / g(x)$ come somma di frazioni parziali, è necessario: 1. Assicurarsi che il grado di $f(x)$ sia inferiore al grado di $g(x)$. *In caso contrario, si deve dividere $f(x)$ per $g(x)$ e lavorare con il termine rimanente.* 2. Conoscere i fattori di $g(x)$. *Ogni polinomio a coefficienti reali può essere scritto come prodotto di fattori lineari e quadratici reali, anche se in pratica questi fattori possono essere difficili da determinare.* #### Metodo delle Frazioni Parziali 1. Se $x-r$ è un fattore lineare di $g(x)$ e $(x-r)^{m}$ è la massima potenza che divide $g(x)$, si assegna la somma delle $m$ frazioni parziali: $ \frac{A_{1}}{(x-r)}+\frac{A_{2}}{(x-r)^{2}}+\cdots+\frac{A_{m}}{(x-r)^{m}}. $ 2. Se $x^{2}+px+q$ è un fattore quadratico irriducibile di $g(x)$ senza radici reali e $\left(x^{2}+px+q\right)^{n}$ è la massima potenza che divide $g(x)$, si assegna la somma delle $n$ frazioni parziali: $ \frac{B_{1}x+C_{1}}{\left(x^{2}+px+q\right)}+\frac{B_{2}x+C_{2}}{\left(x^{2}+px+q\right)^{2}}+\cdots+\frac{B_{n}x+C_{n}}{\left(x^{2}+px+q\right)^{n}}. $ 3. Si imposta la frazione originale $f(x) / g(x)$ uguale alla somma di tutte queste frazioni parziali, si eliminano le frazioni e si ordinano i termini in potenze decrescenti di $x$. 4. Si uguagliano i coefficienti delle potenze corrispondenti di $x$ e si risolvono le equazioni risultanti per i coefficienti indeterminati. ##### Esempio Valutare l'integrale $ \int \frac{6x+7}{(x+2)^{2}} \, dx $ **Soluzione:** Si esprime l'integrando come somma di frazioni parziali con coefficienti indeterminati: $ \frac{6x+7}{(x+2)^{2}} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^{2}} $ Moltiplicando entrambi i lati per $(x+2)^{2}$, otteniamo: $ 6x+7 = A(x+2) + B $ Uguagliando i coefficienti, troviamo $A=6$ e $B=-5$. Quindi: $ \int \frac{6x+7}{(x+2)^{2}} \, dx = \int \left(\frac{6}{x+2} - \frac{5}{(x+2)^{2}}\right) \, dx $ $ = 6 \ln |x+2| + 5(x+2)^{-1} + C $