L'**integrale** è uno strumento fondamentale nel calcolo infinitesimale, utilizzato per definire e calcolare aree e volumi. È impiegato anche per determinare quantità come la lunghezza di percorsi curvi, probabilità, medie, consumo di energia e molto altro.
Se una [[Serie numeriche|serie numerica]] è una sommatoria discreta di termini numerici, l'integrale è una sommatoria integrale di termini infinitesimi (dx, dh, dE, ecc...); nel caso di una [[Funzioni continue|funzione continua]], la sommatoria di ogni valore dell'ascissa della funzione (dx) moltiplicata per ogni rispettivo valore della funzione (f(x)) restituisce l'area nell'intervallo considerato.
Analogamente alla [[Derivata|derivata]], l'integrale definito si basa sul concetto di [[Caratterizzazione del limite|limite]].
L'idea è di approssimare una quantità (come l'area di una regione curva) suddividendola in piccoli pezzi, ciascuno dei quali può essere approssimato con una forma semplice, come un rettangolo. La somma dei contributi di ciascun pezzo fornisce un'approssimazione della quantità originale.
Dividendo la regione in un numero crescente di pezzi, l'approssimazione migliora, convergendo verso la quantità esatta che si desidera misurare.
Il processo di **integrazione secondo Riemann** si articola in due fasi principali:
1. Definizione dell'integrale per una **funzione a gradini.**
2. Estensione del concetto a una **funzione limitata qualsiasi.**
#### Integrale di una funzione a gradini
Una funzione a gradini è una funzione reale che è costante su intervalli specifici del suo dominio. Il grafico di una funzione a gradini è composto da segmenti paralleli all'asse delle ascisse.
![[Pasted image 20250523121112.png]]
Per calcolare l'integrale di una funzione a gradini, si sommano le aree dei rettangoli che la compongono:
$I(g) = \sum g(c_i)(x_i - x_{i-1})$
Due funzioni a gradini che condividono la stessa divisione ammissibile hanno lo stesso integrale.
L'integrale è quindi un operatore $I: G \rightarrow R$ che associa a ogni funzione $g$ in $G$ un numero reale.
Le proprietà dell'integrale includono linearità, monotonia e invarianza.
#### Integrale di una funzione limitata
Il concetto di integrale di una funzione a gradini si estende a una funzione limitata utilizzando due funzioni a gradini: una che approssima la funzione per difetto e una per eccesso.
**Funzione a gradini per difetto:**
$
s_{D}(x) = \begin{cases}
\inf f & x \in (x_{i-1}, x_i) \\
f(x_i) & x = x_i
\end{cases}
$
**Funzione a gradini per eccesso:**
$
t_{D}(x) = \begin{cases}
\sup f & x \in (x_{i-1}, x_i) \\
f(x_i) & x = x_i
\end{cases}
$
Si ha $\inf f \leq s_{D}(x) \leq f(x) \leq t_{D}(x) \leq \sup f$ per ogni $x \in [a, b]$.
Gli integrali delle funzioni a gradini per difetto $I(s_D)$ e per eccesso $I(t_D)$ soddisfano:
$
L_f = \{I(s_D) : D \in D\} \quad \wedge \quad U_f = \{I(t_D) : D \in D\}
$
Se $\sup L_f \leq \inf U_f$, il valore separatore di questi due insiemi è l'integrale.
Una funzione è integrabile alla Riemann se $L_f$ e $U_f$ sono contigui, e si pone
$I(f) = \sup L_f = \inf U_f$
O anche
$\color {green}I(f)=\int f(x) d x$
==L'integrale ha un importante significato geometrico, se f una funzione non negativa esso fornisce una misura dell'area della regione di piano sottesa dal grafico.==
##### Classi di funzioni integrabili
- Le funzioni continue sono integrabili.
- Le funzioni monotone sono integrabili.
- Se $f$ è limitata e ha un numero finito di punti di discontinuità, allora è integrabile.
#### Criterio di integrabilità
Una funzione limitata è integrabile alla Riemann se per ogni $\epsilon > 0$ esiste una divisione $D_{\epsilon}$ tale che:
$
I(t_D) - I(s_D) < \epsilon
$
*In altre parole, una funzione è integrabile se il suo grafico può essere racchiuso in un pluri-rettangolo di area infinitesima.*
#### Funzione Integrale
Per una funzione limitata e integrabile $f: [a, b] \rightarrow R$, la **funzione integrale** è definita come:
$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \quad \text{con} \quad F(a) = 0$
Questa funzione integrale rappresenta l'area sottesa dal grafico della funzione $f$ nell'intervallo da $a$ a $x$.
La funzione integrale è caratterizzata dalla proprietà di essere Lipschitziana, il che implica che è uniformemente continua.
#### Basic Forms
Ecco una tabella con gli integrali delle funzioni classiche:
| Integrale | Risultato |
| ------------------------------------ | ---------------------------------------------------- |
| $\int k \, dx$ | $k x + C$, $k$ qualsiasi numero |
| $\int x^n \, dx$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, $n \neq -1$ |
| $\int \frac{dx}{x}$ | $\ln \|x\|+C$ |
| $\int e^x \, dx$ | $e^x + C$ |
| $\int a^x \, dx$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$, $a > 0$, $a \neq 1$ |
| $\int \sin x \, dx$ | $-\cos x + C$ |
| $\int \cos x \, dx$ | $\sin x + C$ |
| $\int \sec^2 x \, dx$ | $\tan x + C$ |
| $\int \csc^2 x \, dx$ | $-\cot x + C$ |
| $\int \sec x \tan x \, dx$ | $\sec x + C$ |
| $\int \csc x \cot x \, dx$ | $-\csc x + C$ |
| $\int \tan x \, dx$ | $\ln \|\sec x\|+C$ |
| $\int \cot x \, dx$ | $\ln \|\sin x\|+ C$ |
| $\int \sinh x \, dx$ | $\cosh x + C$ |
| $\int \cosh x \, dx$ | $\sinh x + C$ |
| $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ | $\sin^{-1} \frac{x}{a} + C$ |
| $\int \frac{dx}{a^2 + x^2}$ | $\frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$ |
| $\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - a^2}}$ | $\frac{1}{a} \sec ^{-1}\left\|\frac{x}{a}\right\|+C$ |
| $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}}$ | $\sinh^{-1} \frac{x}{a} + C$, $a > 0$ |
#### Visuals
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[Integration and the fundamental theorem of calculus | Chapter 8, Essence of calculus](https://youtu.be/rfG8ce4nNh0?si=Y2_ImU2wLHsw6y5L)
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[Find the Volume of Any Shape Using Calculus](https://youtu.be/Lbg1M0PTy1A?si=vMrZjj6GAm3OoglU)