Il processo di [[Integrale alla Riemann|integrazione]] inizia con una partizione di regioni dello spazio infinitesime, in questo caso saranno dei rettangoli, per poi farne la [[Serie numeriche|sommatoria]] e il [[Caratterizzazione del limite|limite]]. Consideriamo una [[Funzioni di più variabili|funzione]] ƒ(x, y) definita su una regione rettangolare R $ R:\quad a\le x \le b, \quad c\le y\le d $ Ora dividiamo R in n piccoli rettangoli usando linee parallele all'asse x e all'asse y. ![[Pasted image 20240822103912.png]] Un piccolo pezzo rettangolare di larghezza $\Delta x$ e altezza $\Delta y$ ha area $\Delta A = \Delta x \Delta y$ Per formare una somma di Riemann su R, scegliamo un punto (x_k , y_k) nel k-esimo rettangolo, moltiplichiamo il valore di ƒ in quel punto per l'area A_k e sommiamo i prodotti: $ S_n= \sum_{k=1}^nf(x_k,y_k) \Delta A_k $ Associamo alla nostra funzione due funzioni a gradinata, una che approssima per difetto e una per eccesso la nostra funzione, avremo quindi: - $S_i=inf \sum_{k=1}^nf(x_k,y_k) \Delta A_k$ approssima per difetto - $S_s=sup \sum_{k=1}^nf(x_k,y_k) \Delta A_k$ approssima per eccesso Quando le due serie convergono allo stesso valore S_n, indipendentemente dalle scelte fatte, si dice allora allora la funzione ƒ si dice integrabile e il limite si chiama **doppio integrale** di ƒ su R $ \color {orange} \iint_R f(x,y) dxdy \quad or \quad \iint_R f(x,y)dA $ Se ƒ(x, y) è una [[Funzioni continue|funzione continua]] in tutto R, allora ƒ è integrabile. Quando ƒ(x, y) è una funzione positiva su una regione rettangolare R nel piano delle ascisse, possiamo interpretare il doppio integrale di ƒ su R come il volume della regione solida tridimensionale sul piano delle ascisse delimitata in basso da R e in alto dalla superficie z = ƒ(x, y) $ \color {green} Volume=lim_{n\rightarrow \infty}S_n= \iint_R f(x,y)dA $ <font color="#4bacc6">Le approssimazioni della somma di Riemann al volume diventano più precise all'aumentare del numero n rettangoli considerati.</font> ![[Pasted image 20240822110312.png]] Calcolare l'integrale su regioni rettangolari è cosa semplice usando il **teorema di Fubini** $ \color {green} \iint_R f(x,y)dA= \int^d_c \int^b_a f(x,y)dxdy=\int^b_a \int^d_c f(x,y)dydx $ Il metodo consiste nell'usare due integrali singoli e moltiplicarli tra loro (base x altezza) #### Area di regioni delimitate nel piano Se si assume ƒ(x, y) = 1 nella definizione dell'integrale doppio su una regione R della sezione precedente, le somme di Riemann si riducono a $ S_n= \sum_{k=1}^nf(x_k,y_k) \Delta A_k= \sum_{k=1}^n \Delta A_k $ <font color="#4bacc6">Si tratta semplicemente della somma delle aree dei piccoli rettangoli nella partizione di R, e approssima quella che vorremmo chiamare l'area di R.</font> **Area di una regione** L'area di una regione piana chiusa e delimitata R è $ \color {orange} A=\iint_R dA=\iint_Rdxdy $ #### Applicazioni **Massa** $ m=\int_\Omega\mu(x,y)dxdy\quad con \; \mu(x,y)=\text{densità superficiale} $ **Baricentro** Il baricentro o centro di massa di $\Omega$ è il punto $G=\left(x_G, y_G\right)$ avente coordinate $ x_G=\frac{1}{m} \int_{\Omega} x \mu(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \quad y_G=\frac{1}{m} \int_{\Omega} y \mu(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . $ Se il corpo è omogeneo, ossia se la densità di massa è costante, risulta $ x_G=\frac{1}{\operatorname{area}(\Omega)} \int_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, \quad y_G=\frac{1}{\operatorname{area}(\Omega)} \int_{\Omega} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $ **Momento d'inerzia** Se $r$ è una retta, il momento di inerzia di $\Omega$ rispetto a $r$ è dato da $ I_r=\int_{\Omega} d_r^2(x, y) \mu(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $ In particolare, i momenti di inerzia rispetto agli assi coordinati sono $ I_x=\int_{\Omega} y^2 \mu(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \quad I_y=\int_{\Omega} x^2 \mu(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . $ La loro somma è il momento di inerzia rispetto all'origine $ I_0=I_x+I_y=\int_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \mu(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{\Omega} d_0^2(x, y) \mu(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $ ### Approfondimento --- | Fonte | Sezione | Tipologia | | ----------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------ | | [[Risorse#Analisi\|Paul's online notes]]<br> | [multiple integrals](https://tutorial.math.lamar.edu/Problems/CalcIII/MultipleIntegralsIntro.aspx) | Teoria, Esempi, Esercizi | | [[Risorse#Analisi\|Thomas Calculus. George B. Thomas]] | | Teoria, Esempi, Esercizi | #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/GVe4z6nrcr4?si=wrvpORnBrKRIJpUB" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> [Dall'astratto alla Realtà: guida completa sugli Integrali Doppi per Analisi 2](https://youtu.be/GVe4z6nrcr4?si=37SqC4YX0A_7n9np)