L'integrale di Riemann generalizzato, noto anche come integrale improprio, estende il concetto di [[Integrale alla Riemann|integrale di Riemann]] classico per includere funzioni che non sono limitate o non definite su un intervallo chiuso e limitato. Questo tipo di integrale è particolarmente utile in analisi matematica per trattare funzioni con comportamenti asintotici o discontinuità. In virtù del [[Teorema di Weierstrass]] le funzioni continue sono integrabili in senso generalizzato distinguendo le diverse tipologie di dominio: 1. Una funzione $f$ è detta integrabile alla Riemann in senso generalizzato su $[a, b[$ o $]a, b]$ con $b \to +\infty$ o $a \to -\infty$ se esiste il limite finito: $ \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \quad \text{o} \quad \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ 2. Una funzione $f$ è detta integrabile alla Riemann in senso generalizzato su $]a, b[$ se è integrabile nei due intervalli separati, con $c$ un punto intermedio reale e si pone: $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \lim_{b \to +\infty} \int_{c}^{b} f(x) \, dx $ | 1o tipo | 2o tipo | | ------------------------------------ | ------------------------------------ | | ![[Pasted image 20250523121257.png]] | ![[Pasted image 20250523121308.png]] |