*La definizione dell’integrale multiplo o integrale n-dimensionale per funzioni di n = 3 variabili reali ricalca quella appena vista per l’integrale doppio per funzioni di 2 variabili. Il ruolo dei rettangoli nel piano è ora svolto dai parallelepipedi nello spazio.* Sia F(x, y, z) è una funzione definita su una regione chiusa e delimitata D nello spazio R^3. Suddividiamo una regione di parallelepipedo, contenuta in D, in parallelepipedi più piccoli, su piani paralleli agli assi delle coordinate. Numeriamo le celle che si trovano completamente all'interno di D da 1 a n in un certo ordine; la k-esima cella ha dimensioni $\Delta x_k, \Delta y_k,\Delta z_k$ e volume $V_k = \Delta x_k \Delta y_k\Delta z_k$ Costruiamo ora la somma di Riemann $ S_n= \sum_{k=1}^nF(x_k,y_k,z_k) \Delta V_k $ Operando in modo simile a quanto fatto per l'integrale doppio, facciamo il limite a infinito del miglioramento delle approssimazioni, ottenendo l'integrale triplo di F su D e scriviamo $ lim_{n\rightarrow \infty} S_n=\iiint_DF(x,y,z) dV $ Se F è una funzione costante il cui valore è 1, le somme di Riemann si riducono a $ S_n= \sum_{k=1}^nF(x_k,y_k,z_k) \Delta V_k= \sum_{k=1}^n \Delta V_k $ Man mano che x_k , y_k e z_k si avvicinano a zero, le celle V_k diventano sempre più piccole e riempiono una parte sempre maggiore di D. Definiamo quindi il volume di D come l'integrale triplo $ lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \Delta V_k =\iiint_DdV $ **Volume di una regione generale dello spazio** Il volume di una regione chiusa e delimitata D nello spazio è $ \color{orange} V=\iiint_DdV= \iiint_Ddxdydz $ <font color="#4bacc6">Il vantaggio rispetto ad un integrale doppio è che qua possiamo trovare il volume di regioni dello spazio più generali, non c'è più la limitazione data dal fatto che una delle superfici, per gli integrali doppi è una regione del piano xy</font> **Calcolo dell'integrale triplo** L'integrale triplo si calcola in maniera simile all'integrando doppio, ovvero sfruttando più volte integrali singoli su una funzione a più variabili. Il problema principale risiede nel trovare i limiti d'integrazione. Valutiamo un integrale triplo applicando una versione tridimensionale del Teorema di Fubini per valutarlo mediante tre singole integrazioni ripetute. ![[Pasted image 20240906164000.png|500]] ![[Pasted image 20240906164026.png|500]] ![[Pasted image 20240906164057.png|500]] ![[Pasted image 20240906164129.png|500]] ![[Pasted image 20240906164155.png|500]] #### Applicazioni **Massa** $ m=\int_\Omega\mu(x,y)dxdydz\quad con \; \mu(x,y,z)=\text{densità volumica di massa} $ **Baricentro** ![[Pasted image 20240611172115.png|400]] **Momento d'inerzia** ![[Pasted image 20240611172055.png|400]] ![[Pasted image 20240822134318.png|400]] ### Approfondimento --- | Fonte | Sezione | Tipologia | | ------------------------------------------------------ | -------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------ | | [[Risorse#Analisi\|Paul's online notes]]<br> | [multiple integrals](https://tutorial.math.lamar.edu/Problems/CalcIII/MultipleIntegralsIntro.aspx) | Teoria, Esempi, Esercizi | | [[Risorse#Analisi\|Thomas Calculus. George B. Thomas]] | | Teoria, Esempi, Esercizi | #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/4pDVpcJmnfY?si=y5RfBNvWrhJj7Ncg" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> [Dall'astratto alla Realtà: guida completa sugli Integrali Tripli per Analisi 2](https://youtu.be/4pDVpcJmnfY?si=ESjbFweLDeOcqOEI)