Integrali curvilinei di prima specie

*Per calcolare la massa totale di un filo che giace lungo una curva nello spazio, o per trovare il lavoro compiuto da una forza variabile che agisce lungo tale curva, abbiamo bisogno di una nozione più generale di integrale dato che dobbiamo integrare su una curva C piuttosto che su un intervallo x.* Questi integrali più generali sono chiamati **integrali di linea** o **integrali curvilinei di prima specie.** Supponiamo che ƒ(x, y, z) sia una funzione a valori reali che vogliamo integrare sulla curva C che giace nel dominio di ƒ e che è parametrizzata da $r(t) = g(t)\vec i + h(t)\vec j + k(t)\vec k$, con $a \le t \le b$. I valori di ƒ lungo la curva sono dati dalla funzione composta ƒ(g(t), h(t), k(t)). Integreremo questa composizione rispetto alla lunghezza dell'arco da t = a a t = b. Per iniziare, dividiamo ![[Pasted image 20240830182323.png|300]] In ogni sotto-arcata scegliamo un punto (x_k, y_k, z_k) e formiamo la somma $ S_n=\sum_{k=1}^n f(x_k , y_k , z_k)\Delta s_k $ A seconda di come si suddivide la curva C e si scelgono (xk, yk, zk) nel k-esimo sottoarco, si possono ottenere valori diversi per Sn. Se ƒ è continua e le funzioni g, h e k hanno derivate prime continue, allora queste somme si avvicinano a un limite all'aumentare di n e le lunghezze $\Delta s_k$ si avvicinano a zero. Nella definizione, assumiamo che la norma della partizione si avvicini a zero al tendere di n all'infinito, in modo che la lunghezza del sotto-arco più lungo si avvicini a zero. +++ #### **Integrale curvilineo di prima specie** Se ƒ è definita su una curva C data parametricamente da $r(t) = g(t)\vec i + h(t)\vec j + k(t)\vec k$, con $a \le t \le b$, allora l'integrale di linea di ƒ su C è $ \color {orange} lim_{n\rightarrow \infty} S_n=lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n f(x_k , y_k , z_k)\Delta s_k = \int_\gamma f(x,y,z)ds $ Con $ds=|\vec v(t)|dt=\sqrt {\bigg(\frac {dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac {dy}{dt}\bigg)^2 +\bigg(\frac {dz}{dt}\bigg)^2 }dt$ Calcolo dell'integrale di linea Ipotesi 1. f(x,y,z) continua 2. Curva C semplice e regolare Per integrare ƒ(x, y, z) su curva C 3. Trovare una parametrizzazione di C $r(t) = g(t)\vec i + h(t)\vec j + k(t)\vec k$, con $a \le t \le b$ 4. Calcolare l'integrale come: $ \color {green} \int_C f(x,y,z)ds=\int_a^b f(g(t),h(t),k(t))|\vec v(t)|dt $ Gli integrali di linea per le curve nel piano hanno una naturale interpretazione geometrica. Rappresentano l'area della superficie perpendicolare al piano xy e alla curva di riferimento: ![[Pasted image 20240830185354.png|200]] Esempio ![[Pasted image 20240830184150.png|400]] #### Applicazioni ![[Pasted image 20240830185001.png|400]] ### Approfondimento --- | Fonte | Sezione | Tipologia | | ----------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------ | ------------------------ | | [[Risorse#Analisi\|Paul's online notes]] | [line integrals](https://tutorial.math.lamar.edu/Problems/CalcIII/LineIntegralsIntro.aspx) | Teoria, Esempi, Esercizi | | [[Risorse#Analisi\|Thomas Calculus. George B. Thomas]] | | Teoria, Esempi, Esercizi |