> [!Tip]- Key points > - L'integrazione per parti è utile per semplificare integrali complessi. > - Si basa sulla regola di derivazione del prodotto. > - La formula principale è $\int f^{\prime}(x) g(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f(x) g^{\prime}(x) \, dx$. > [!Info]- Legenda $f^{\prime}(x)$: Derivata della funzione $f(x)$ rispetto a $x$. $g(x)$: Funzione che può essere differenziata ripetutamente. $\int$: Simbolo di integrazione. $D(f \cdot g)$: Derivata del prodotto delle funzioni $f$ e $g$. --- L'**integrazione per parti** è una tecnica fondamentale in analisi matematica, utilizzata per semplificare gli integrali della forma $\int f^{\prime}(x) g(x) \, dx$ Questa tecnica è particolarmente utile quando la funzione $g(x)$ può essere differenziata ripetutamente e la funzione $f(x)$ può essere integrata ripetutamente. La regola di integrazione per parti si basa sulla [[Regole di derivazione|regola di derivazione del prodotto]], che afferma: $ D(f \cdot g) = f^{\prime} g + f g^{\prime} $ Da questa regola, possiamo derivare la **formula per l'integrazione per parti:** $ \color {green} \int f^{\prime}(x) g(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f(x) g^{\prime}(x) \, dx $ ##### Dimostrazione La dimostrazione della formula di integrazione per parti parte dalla regola di derivazione del prodotto: La regola di derivazione del prodotto prescrive che $D(f \cdot g) = f^{\prime} g + f g^{\prime}$. Integrando entrambi i membri rispetto a $x$, otteniamo: $ \int D(f \cdot g)(x) \, dx = \int \left(f^{\prime} g + f g^{\prime}\right)(x) \, dx $ Da qui, possiamo scrivere: $ f(x) \cdot g(x) = \int f^{\prime}(x) g(x) \, dx + \int f(x) g^{\prime}(x) \, dx $ Isolando l'integrale di interesse, otteniamo la formula di integrazione per parti: $ \int f^{\prime}(x) g(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f(x) g^{\prime}(x) \, dx $