> [!Info]- Legenda $f$: Funzione continua $g$: Funzione derivabile con derivata continua $u$: Variabile sostituita $C$: Costante di integrazione --- **L'integrazione per sostituzione** è una tecnica matematica che permette di semplificare il calcolo di un integrale sostituendo una variabile con un'espressione più semplice. Questo metodo è **particolarmente utile per le funzioni composte** o quando una funzione interna diventa più gestibile dopo la sostituzione. Consideriamo una [[Funzioni continue|funzione continua]] $f$ definita su un intervallo $R$ e una [[Derivata|funzione derivabile]] $g$ con derivata continua su un intervallo $I$. L'integrale di una funzione composta può essere espresso come: $ \color {green} \int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) \, dx = \int f(t) \, dt \quad \text{dove} \quad t = g(x) $ **Passaggi del metodo di sostituzione:** 1. Sostituire $u = g(x)$ e $du = g^{\prime}(x) \, dx$ per ottenere $\int f(u) \, du$. 2. Integrare rispetto a $u$. 3. Sostituire $u$ con $g(x)$ nel risultato finale. ##### Esempio Calcolare $\int \sin ^2(5x+1) \cdot 5 \, dx$. **Soluzione:** 1. Sostituiamo $u = 5x + 1$ e $du = 5 \, dx$. 2. L'integrale diventa $\int \sin^2(u) \, du$. 3. Integrando, otteniamo $\tan(u) + C$. 4. Sostituendo $u$ con $5x + 1$, il risultato finale è $\tan(5x + 1) + C$. ##### Dimostrazione Il metodo di integrazione per sostituzione si basa sull'inversione della [[Regola della catena|regola della catena]] per le derivate. Se $F$ è una primitiva di $f$, allora $F(g(x))$ è una primitiva di $f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)$, poiché: $ \frac{d}{dx} F(g(x)) = F^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) $ Facendo la sostituzione $u = g(x)$, otteniamo: $ \int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) \, dx = \int \frac{d}{dx} F(g(x)) \, dx = F(g(x)) + C = F(u) + C = \int F^{\prime}(u) d u= \int f(u) \, du $