Integrazione per verticali e orizzontali

Per introdurre il metodo per calcolare un integrale doppio esteso a regioni particolari del piano dobbiamo dividere in due classi di insiemi, facendo ciò potremo poi decidere in ogni caso quando integrare per orizzontali e quando per verticali. Un insieme $Ω \subset R^2$ si dice **verticalmente convesso (o semplice rispetto all’asse y)** se è della forma $Ω = \{f(x, y) \in R^2 : a < x < b,\quad g_1(x) < y < g_2(x)\}$ con $g_1, g_2 : [a, b] → R$ funzioni continue La x è quindi compresa tra due valori mentre la y è compresa tra due funzioni di x ![[Pasted image 20240524090502.png]] Analogamente un insieme $Ω \subset R^2$ si dice **orizzontalmente convesso (o semplice rispetto all’asse x)** se è della forma $Ω = \{f(x, y) \in R^2 : c < y < d,\quad h_1(y) < x < h_2(y)\}$ con $g_1, g_2 : [a, b] → R$ funzioni continue La y è quindi compresa tra due valori mentre la x è compresa tra due funzioni di y ![[Pasted image 20240524090539.png]] *Gli insiemi verticalmente od orizzontalmente convessi risultano ovviamente misurabili, in quanto la loro frontiera è l’unione di un numero finito di insiemi di misura nulla.* #### Calcolo dell'integrale doppio *Il seguente teorema ci permette di calcolare l'integrale doppio di regioni generali di piano, ammettendo che la funzione sia continua in un insieme R, la formula si differenzia nel caso in cui l'insieme sia x-semplice o y-semplice* Teorema di Fubini **Formula di integrazione per verticali** **Se** Ω è un insieme verticalmente convesso e **se** f : Ω → R^2 è continua in Ω, **allora** vale la formula $ \color {green} \iint_\Omega f= \int^b_a \bigg (\int^{g_2(x)}_{g_1(x)} f(x,y)dy\bigg )dx $ **Formula di integrazione per orizzontali** **Se** Ω è orizzontalmente convesso e **se** f : Ω → R^2 è continua in Ω, **allora** vale la formula $ \color {green} \iint_\Omega f= \int^d_c \bigg (\int^{h_2(y)}_{h_1(y)} f(x,y)dx\bigg )dy $ Come per le funzioni definite sui rettangoli, anche per le funzioni positive e integrabili su un generico insieme misurabile Ω, l’integrale doppio ha una semplice interpretazione geometrica. Esso rappresenta il volume volume del cilindroide C. Esempio ![[Pasted image 20240822131453.png]]