#### Per insiemi Un [[Insiemi|insieme]] non vuoto $E$ in $\mathbb{R}$ ammette un [[Estremi|estremo superiore o inferiore]] se e solo se è limitato rispettivamente superiormente o inferiormente. In tal caso, l'estremo superiore $\sup E$ è uguale al [[Massimi e minimi|minimo]] dell'insieme dei [[Maggioranti e minoranti|maggioranti]] di $E$, mentre l'estremo inferiore $\inf E$ è uguale al massimo dell'insieme delle minoranti di $E$. - Se l'insieme non è limitato superiormente, allora $\sup E = +\infty$. - Se l'insieme non è limitato inferiormente, allora $\inf E = -\infty$. ==Un insieme è detto limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente. == #### Per funzioni Consideriamo una [[Funzioni|funzione]] $f: A \to \mathbb{R}$. La funzione $f$ è limitata superiormente se il suo codominio è limitato superiormente. Ciò significa che esiste un numero $k \in \mathbb{R}$ tale che: $ k \geq f(x) \quad \forall x \in A $ In questo caso, l'[[Estremi|estremo superiore]] della funzione è $\sup f = \sup f(A)$. Analogamente, la funzione $f$ è limitata inferiormente se il suo codominio è limitato inferiormente. Ciò significa che esiste un numero $k \in \mathbb{R}$ tale che: $ k \leq f(x) \quad \forall x \in A $ In questo caso, l'**estremo inferiore** della funzione è $\inf f = \inf f(A)$. ==Una funzione è detta limitata se è limitata sia superiormente che inferiormente.==