Il concetto di [[Caratterizzazione del limite|limite]] per una funzione di più variabili è analogo a quello per funzioni di singola variabile, è necessario solamente fare alcune opportune modifiche. *La definizione di limite dice che la distanza tra ƒ(x, y) ed L diventa infinitamente piccola ogni volta che la distanza da (x, y) a (x0, y0) viene resa infinitesima.* **Limite a 2 variabili** Diciamo che in un punto (x_0,y_0) esiste il limite L, e scriviamo $ \color {orange} lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y)=L $ se, per ogni numero epsilon maggiore di 0, esiste un corrispondente numero delta maggiore di 0 tale che che per tutti gli (x, y) nel dominio di ƒ vale $ \color {orange} |f(x,y)-L|<\epsilon\quad quando\quad 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta $ ![[Pasted image 20240815114617.png|400]] #### Proprietà Per le funzioni a 2 variabili valgono le stesse [[Proprietà del limite|proprietà di limite]] che valgono per le funzioni a 1 singola variabile: Le seguenti regole valgono se $L, M$ e $k$ sono numeri reali e $ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=L \quad \text { e } \quad \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} g(x, y)=M $ 1. Regola della Somma: $ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)}(f(x, y)+g(x, y))=L+M $ 2. Regola della Differenza: $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)}(f(x, y)-g(x, y))=L-M$ 3. Regola del Multiplo Costante: $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} k f(x, y)=k L$ 4. Regola del Prodotto: $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)}(f(x, y) \cdot g(x, y))=L \cdot M$ 5. Regola del Quoziente: $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)}=\frac{L}{M}, \quad M \neq 0$ 6. Regola della Potenza: $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)}[f(x, y)]^n=L^n$ 7. Regola della Radice: $ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} \sqrt[n]{f(x, y)}=\sqrt[n]{L}=L^{1 / n} $ #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ynp52N_AnR0?si=svrwoFDMFGfbwbKR" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> [Capire Finalmente i Limiti in Due Variabili (e la Continuità delle Funzioni)](https://youtu.be/ynp52N_AnR0?si=4RSHUyTLKr6hifLc)