L'analisi dei punti di [[Massimi e minimi|massimo e minimo]] locali per funzioni di due variabili estende i concetti già noti per funzioni di una variabile. La condizione necessaria si basa sull'annullamento del [[Differenziabilità|gradiente]], mentre la classificazione dei punti critici richiede lo studio della matrice Hessiana tramite il test della derivata seconda. ### Definizione di estremi locali Una [[Funzioni di più variabili|funzione]] $f: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ ammette un **massimo locale** in $(a, b) \in D$ se $f(a, b) \geqslant f(x, y)$ per ogni punto in un intorno di $(a, b)$. Analogamente, $f$ ha un **minimo locale** in $(a, b)$ se $f(a, b) \leqslant f(x, y)$ in un intorno del punto. Un punto critico che non è né massimo né minimo locale viene chiamato **punto di sella**: in ogni disco aperto centrato in $(a, b)$ esistono punti dove $f$ assume valori sia maggiori che minori di $f(a, b)$. Il grafico di un massimo locale appare come una sommità (curvatura verso il basso in ogni direzione). Un minimo locale appare come una conca (curvatura verso l'alto in ogni direzione). Un punto di sella presenta l'andamento caratteristico di una sella di cavallo: curvatura verso l'alto in una direzione e verso il basso nell'altra. ### Condizione necessaria del primo ordine Sia $f$ [[Differenziabilità|differenziabile]]. Se $f$ ha un estremo locale in $(a, b)$, allora il gradiente si annulla: $ (\nabla f)\big|_{(a, b)} = \langle 0, 0 \rangle \tag{1} $ Geometricamente, il piano tangente in un estremo locale è orizzontale, poiché il vettore normale $\mathbf{n} = \langle f_{x}, f_{y}, -1 \rangle$ è verticale. Un punto interno in cui il gradiente si annulla è detto **punto critico**. I punti critici includono massimi, minimi e selle — sono quindi candidati tra cui cercare gli estremi. #### Richiamo: test della derivata seconda per funzioni di una variabile Per una funzione $f(x)$ di classe $C^{2}$, la derivata seconda classifica i punti critici: - $f''(x_{0}) < 0$: massimo locale - $f''(x_{0}) > 0$: minimo locale - $f''(x_{0}) = 0$: il test è inconcludente (possibile flesso) ### Test della derivata seconda per funzioni di due variabili Sia $(a, b)$ un punto critico di $f$ e si assuma $f \in C^{2}$ in un intorno di $(a, b)$. Si definisce il **discriminante** (o Hessiano in forma di determinante): $ D = f_{xx}(a,b)\, f_{yy}(a,b) - \bigl[f_{xy}(a,b)\bigr]^{2} \tag{2} $ Allora valgono i seguenti casi: - Se $D > 0$ e $f_{xx}(a,b) > 0$, allora $f(a,b)$ è un **minimo locale**. - Se $D > 0$ e $f_{xx}(a,b) < 0$, allora $f(a,b)$ è un **massimo locale**. - Se $D < 0$, allora $f(a,b)$ è un **punto di sella**. - Se $D = 0$ il test è **inconcludente**. Il discriminante $D$ corrisponde al determinante della [[Derivate parziali|matrice Hessiana]] $\mathbf{H}f(a,b)$. Un'interpretazione utile: $D > 0$ indica che la curvatura ha lo stesso segno in tutte le direzioni (concavità/convessità uniforme), mentre $D < 0$ indica curvatura opposta in direzioni diverse (sella). #### Esempio: punto di sella Si consideri $f(x, y) = y^{2} - x^{2}$. Il gradiente $\nabla f = \langle -2x, 2y \rangle$ si annulla solo in $(0,0)$. Calcolando le derivate seconde: $f_{xx} = -2$, $f_{yy} = 2$, $f_{xy} = 0$. Quindi $D = (-2)(2) - 0 = -4 < 0$, confermando che $(0,0)$ è un punto di sella. ### Estremi assoluti Una funzione $f$ ha un **massimo assoluto** in $(a, b)$ se $f(a,b) \geqslant f(x,y)$ per ogni $(x,y) \in D$, e analogamente per il minimo assoluto. Gli estremi locali non sono necessariamente assoluti. L'esistenza di estremi assoluti è garantita dal seguente risultato, estensione del [[Continuità di una funzione di più variabili|teorema di Weierstrass]]: ogni funzione continua definita su un insieme **chiuso e limitato** (compatto) ammette sempre massimo e minimo assoluti. Il grafico di una funzione su un dominio aperto può mostrare come gli estremi assoluti potrebbero non esistere (la funzione cresce illimitatamente avvicinandosi alla frontiera). Su un dominio chiuso e limitato, invece, la funzione raggiunge sempre un valore massimo e uno minimo all'interno del dominio o sulla sua frontiera. ### Esempi ed esercizi Immagina una superficie collinare di campagna: le cime sono massimi locali, gli avvallamenti sono minimi locali. Un passo di montagna, che scende lungo la direzione del sentiero ma sale lateralmente, è un punto di sella. Il discriminante $D$ ti dice, in un punto piatto ($\nabla f = 0$), se ti trovi su una gobba ($D>0$, curvatura omogenea verso il basso), in una conca ($D>0$, curvatura omogenea verso l'alto) o su un incrocio tra salita e discesa ($D<0$, sella). Se $D=0$, il terreno è troppo piatto per decidere solo con le derivate seconde — serve un'indagine più approfondita (come osservare l'andamento della funzione nelle direzioni). ##### Domande di teoria - [ ] Qual è la condizione necessaria affinché un punto sia di estremo locale per una funzione differenziabile di due variabili? - [ ] Cosa rappresenta geometricamente l'annullarsi del gradiente in un punto? - [ ] Qual è il significato del discriminante $D$ e come si calcola? Quali informazioni fornisce il suo segno? - [ ] Quando il test della derivata seconda è inconcludente? Fornisci un esempio concreto. - [ ] Un punto di sella può essere un estremo assoluto? Motiva la risposta. - [ ] Quali ipotesi garantiscono l'esistenza di massimi e minimi assoluti per una funzione di due variabili? ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Analisi#Risorse#Massimi e minimi liberi]]