La ricerca degli estremi assoluti su domini chiusi e limitati combina l'analisi dei punti critici interni con lo studio della frontiera. I problemi di ottimizzazione vincolata, come la massimizzazione del volume di una scatola a superficie fissata, conducono naturalmente al metodo dei [[Metodo dei moltiplicatori di Lagrange|moltiplicatori di Lagrange]]. ### Richiami di [[Topologia delle funzioni a più variabili]] Un sottoinsieme $S \subset \mathbb{R}^{n}$ si dice **aperto** se ogni suo punto è interno. Si dice **chiuso** se contiene la propria frontiera. Si dice **limitato** se è contenuto in una palla di raggio finito, altrimenti è **illimitato**. Il teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili garantisce l'esistenza di estremi assoluti: se $f$ è [[Continuità di una funzione di più variabili|continua]] su un dominio $D$ chiuso e limitato, allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $D$. Un insieme aperto (come un disco senza bordo) non contiene la propria frontiera: i punti di bordo non appartengono all'insieme. Un insieme chiuso (come un disco con bordo incluso) contiene tutti i punti di frontiera. Un insieme limitato non si estende all'infinito — è contenuto in una sfera di raggio finito. ### Estremi assoluti su domini chiusi e limitati Per determinare gli estremi assoluti di $f: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ su un dominio chiuso e limitato $D$, si segue una procedura in tre passi: 1. Trovare tutti i punti critici di $f$ nell'interno di $D$ e valutare $f$ in essi. 2. Trovare i punti di frontiera di $D$ dove $f$ presenta estremi locali e valutare $f$ in essi. 3. Confrontare i valori ottenuti: il più grande è il massimo assoluto, il più piccolo è il minimo assoluto. Il passo (2) richiede di parametrizzare ciascun tratto di frontiera e studiare la funzione ristretta a una variabile, cercandone i punti critici interni al tratto e valutando anche gli estremi dei segmenti. #### Esempio: dominio triangolare Si consideri $f(x, y) = 3 + xy - x + 2y$ sul dominio triangolare delimitato dai segmenti $y=0$ ($x \in [1,5]$), $x=1$ ($y \in [0,4]$) e $y = -x + 5$ ($x \in [1,5]$). **Punti critici interni:** $\nabla f = \langle y-1, x+2 \rangle = \langle 0,0 \rangle$ dà $(-2,1)$, esterno al dominio e quindi scartato. **Analisi della frontiera:** - Su $y=0$: $g(x) = f(x,0) = 3 - x$, derivata $g' = -1 \neq 0$. Nessun punto critico interno. Si registrano gli estremi: $(1,0)$ con $f=2$, $(5,0)$ con $f=-2$. - Su $x=1$: $g(y) = f(1,y) = 2 + 3y$, derivata $g' = 3 \neq 0$. Nessun punto critico interno. Si registra $(1,4)$ con $f=14$. - Su $y = -x+5$: $g(x) = f(x, -x+5) = -x^{2} + 2x + 13$. Derivata $g'(x) = -2x + 2 = 0$ dà $x=1$, quindi $y=4$, punto già registrato. **Confronto:** la lista dei valori è $f(1,0)=2$, $f(1,4)=14$, $f(5,0)=-2$. Massimo assoluto in $(1,4)$, minimo assoluto in $(5,0)$. Il grafico del dominio mostra un triangolo nel piano $xy$ con vertici in $(1,0)$, $(5,0)$ e $(1,4)$. La funzione $f$ raggiunge il suo valore più alto sul vertice $(1,4)$ e il più basso sul vertice $(5,0)$. ### Problema di massimizzazione con vincolo Un problema classico di ottimizzazione vincolata: determinare il volume massimo di una scatola rettangolare chiusa con area superficiale assegnata $A_{0}$. Il volume e l'area di una scatola con lati $x, y, z$ sono: $ V(x,y,z) = xyz, \qquad A(x,y,z) = 2xy + 2xz + 2yz \tag{1} $ Imponendo il vincolo $A = A_{0}$, si esplicita $z$: $ z = \frac{A_{0} - 2xy}{2(x+y)} \tag{2} $ Sostituendo, il volume diventa funzione di due variabili: $ f(x,y) = \frac{A_{0}xy - 2x^{2}y^{2}}{2(x+y)} \tag{3} $ I punti critici di $f$ si ottengono da $f_{x}=0$ e $f_{y}=0$, che per $x,y \neq 0$ portano al sistema: $ A_{0} = 2x^{2} + 4xy, \qquad A_{0} = 2y^{2} + 4xy \tag{4} $ Sottraendo le due equazioni si ottiene $2x^{2} = 2y^{2}$, quindi $x = y$ (le dimensioni positive sono uguali). Sostituendo: $A_{0} = 2x^{2} + 4x^{2} = 6x^{2}$, da cui $x_{0} = y_{0} = \sqrt{A_{0}/6}$. Per simmetria, anche $z_{0} = \sqrt{A_{0}/6}$: la scatola ottimale è un cubo. Questo stesso problema può essere risolto in modo più elegante con il [[Metodo dei moltiplicatori di Lagrange]], che evita di esplicitare il vincolo e tratta direttamente la funzione $V$ soggetta al vincolo $A = A_{0}$. ### Esempi ed esercizi Immagina di dover trovare il punto più alto e più basso in un terreno recintato (dominio chiuso e limitato). Prima ispezioni l'interno del terreno cercando punti dove il suolo è perfettamente piatto ($\nabla f = 0$). Poi percorri l'intero perimetro della recinzione, analizzando tratto per tratto l'altitudine lungo il bordo. Infine confronti tutte le quote registrate: la massima è la cima assoluta, la minima è l'avvallamento più profondo. Se il terreno è illimitato (nessuna recinzione), potresti non trovare mai un estremo assoluto perché la funzione potrebbe crescere o decrescere indefinitamente. ##### Domande di teoria - [ ] Quali condizioni deve soddisfare un dominio affinché una funzione continua ammetta sicuramente massimo e minimo assoluti? - [ ] Descrivi la procedura in tre passi per determinare gli estremi assoluti di una funzione su un dominio chiuso e limitato. - [ ] Perché nello studio della frontiera si riduce il problema a una funzione di una sola variabile? - [ ] Qual è il vantaggio del metodo dei moltiplicatori di Lagrange rispetto alla sostituzione diretta del vincolo? - [ ] In un problema di ottimizzazione vincolata, cosa rappresenta geometricamente la condizione $\nabla f = \lambda \nabla g$? ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]]