Il **metodo dei moltiplicatori di Lagrange** è la tecnica fondamentale per determinare gli estremi vincolati di una funzione senza esplicitare le variabili dipendenti. A differenza del [[Metodo dello Jacobiano|metodo dello Jacobiano]], introduce variabili ausiliarie (i moltiplicatori) e riconduce il problema a un sistema di equazioni che esprime una condizione geometrica di parallelismo tra gradienti. ### Condizione geometrica di estremo vincolato Si consideri il problema di ottimizzare $f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ soggetta a un vincolo $g(\mathbf{x}) = 0$, con $f, g \in C^{1}$. In un punto di estremo vincolato $\mathbf{x}_{0}$, la curva di livello di $f$ e il vincolo $g = 0$ devono essere tangenti. Poiché i gradienti sono ortogonali alle rispettive curve di livello, $\nabla f(\mathbf{x}_{0})$ e $\nabla g(\mathbf{x}_{0})$ risultano paralleli. Esiste quindi uno scalare $\lambda$ tale che: $ \nabla f(\mathbf{x}_{0}) = \lambda\, \nabla g(\mathbf{x}_{0}) \tag{1} $ Il numero $\lambda$ è detto **moltiplicatore di Lagrange**. La condizione (1), unita al vincolo $g(\mathbf{x}_{0}) = 0$, costituisce un sistema di $n+1$ equazioni in $n+1$ incognite ($\mathbf{x}_{0}$ e $\lambda$). Dal punto di vista geometrico, il punto di estremo vincolato è quello in cui la curva (o superficie) di livello di $f$ è tangente al vincolo. Se i due gradienti non fossero paralleli, sarebbe possibile muoversi lungo il vincolo e aumentare o diminuire il valore di $f$, contraddicendo l'estremalità. ### La funzione Lagrangiana Il sistema può essere ottenuto in modo elegante introducendo la **funzione Lagrangiana**: $ \mathcal{L}(\mathbf{x}, \lambda) = f(\mathbf{x}) - \lambda\, g(\mathbf{x}) \tag{2} $ I punti critici liberi di $\mathcal{L}$ rispetto a tutte le variabili $(\mathbf{x}, \lambda)$ soddisfano: $ \nabla_{\mathbf{x}} \mathcal{L} = \nabla f(\mathbf{x}) - \lambda \nabla g(\mathbf{x}) = \mathbf{0}, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -g(\mathbf{x}) = 0 \tag{3} $ La condizione $\partial \mathcal{L} / \partial \lambda = 0$ recupera esattamente il vincolo $g = 0$, mentre l'annullamento del gradiente rispetto a $\mathbf{x}$ restituisce la condizione di parallelismo (1). Il problema vincolato in $n$ variabili è così ricondotto a un problema di estremi liberi in $n+1$ variabili. #### Estensione a più vincoli Se sono presenti $m$ vincoli $g_{i}(\mathbf{x}) = 0$ con $i = 1, \dots, m$ e $m < n$, la condizione di estremo vincolato richiede che $\nabla f$ appartenga allo spazio generato dai gradienti dei vincoli. Si introducono $m$ moltiplicatori $\lambda_{i}$ e la Lagrangiana: $ \mathcal{L}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\lambda}) = f(\mathbf{x}) - \sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}\, g_{i}(\mathbf{x}) \tag{4} $ I punti critici si ottengono annullando le derivate parziali di $\mathcal{L}$ rispetto a tutte le $n+m$ variabili. La figura mentale: in $\mathbb{R}^{3}$ con due vincoli, l'intersezione di due superfici è una curva. Il gradiente di $f$ nel punto di estremo deve giacere nel piano generato da $\nabla g_{1}$ e $\nabla g_{2}$, che è ortogonale alla curva vincolare. ### Classificazione dei punti critici vincolati Per determinare la natura di un punto critico vincolato si utilizza la **matrice Hessiana orlata**. Nel caso di un vincolo in due variabili, si costruisce: $ \mathbf{H}_{O} = \begin{pmatrix} 0 & g_{x} & g_{y} \\ g_{x} & \mathcal{L}_{xx} & \mathcal{L}_{xy} \\ g_{y} & \mathcal{L}_{yx} & \mathcal{L}_{yy} \end{pmatrix} \tag{5} $ valutata nel punto critico $(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0})$. Il segno del determinante di $\mathbf{H}_{O}$ classifica il punto: - Se $\det \mathbf{H}_{O} > 0$, il punto è un **massimo** vincolato. - Se $\det \mathbf{H}_{O} < 0$, il punto è un **minimo** vincolato. - Se $\det \mathbf{H}_{O} = 0$, il test è inconcludente. Per $n > 2$ o $m > 1$ si studiano i segni dei minori principali di coda della matrice Hessiana orlata. Si immagini uno schema che riporta la matrice orlata con le derivate parziali indicate esplicitamente, affiancato da un diagramma di flusso per la classificazione basata sul segno del determinante. #### Esempio: massimo vincolato in due variabili Si determini il massimo di $f(x, y) = xy$ sul vincolo $g(x, y) = x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ (il cerchio unitario). La Lagrangiana è $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = xy - \lambda(x^{2} + y^{2} - 1)$. Le condizioni: $ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y - 2\lambda x = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x - 2\lambda y = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(x^{2} + y^{2} - 1) = 0 \tag{6} $ Dalle prime due equazioni, moltiplicando la prima per $y$, la seconda per $x$ e sottraendo, si ottiene $y^{2} = x^{2}$, quindi $y = \pm x$. Sostituendo nel vincolo $2x^{2} = 1$, si ha $x = \pm 1/\sqrt{2}$. I punti critici vincolati sono quattro: $(\pm 1/\sqrt{2}, \pm 1/\sqrt{2})$, con valori $f = 1/2$ (segni concordi, massimi) e $f = -1/2$ (segni discordi, minimi). La classificazione tramite Hessiana orlata conferma la natura dei punti. ### Esempi ed esercizi Immagina un'isola con una montagna al centro, il cui profilo altimetrico è descritto da $f(x,y)$. Vuoi percorrere la strada costiera, che segue esattamente la linea di costa data da $g(x,y)=0$, e ti chiedi dove si trovi il punto più alto del percorso. Le curve di livello della montagna sono le isoipse. Il punto più alto sul sentiero si raggiunge esattamente dove il sentiero è tangente a un'isoipsa: se così non fosse, il sentiero taglierebbe le curve di livello e ci sarebbe sempre un punto vicino più in alto. La condizione di tangenza si traduce nel parallelismo tra $\nabla f$ (perpendicolare alle isoipse e puntuale verso la cima) e $\nabla g$ (perpendicolare al sentiero). È qui che entra in gioco il moltiplicatore $\lambda$, che misura il rapporto tra le due pendenze. ##### Domande di teoria - [ ] Qual è il significato geometrico della condizione $\nabla f = \lambda \nabla g$? - [ ] Come si costruisce la funzione Lagrangiana per un problema con due vincoli? - [ ] Perché il moltiplicatore $\lambda$ non viene determinato direttamente ma solo attraverso il sistema? - [ ] Qual è la differenza concettuale tra il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e il metodo dello Jacobiano? - [ ] Come si classifica un punto critico vincolato usando la matrice Hessiana orlata? - [ ] Cosa rappresenta il segno del moltiplicatore $\lambda$ in un problema di massimizzazione con vincolo di disuguaglianza attivo? ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Analisi#Risorse#Moltiplicatori di Lagrange]]