Il **metodo dello Jacobiano** è una tecnica per risolvere problemi di [[Massimi e minimi vincolati|ottimizzazione vincolata]] che sfrutta il [[Teorema di Dini|teorema della funzione implicita]] per eliminare i vincoli e ricondursi a un problema di estremo libero. Costituisce un'alternativa costruttiva al [[Metodo dei moltiplicatori di Lagrange]] quando è possibile esplicitare alcune variabili in funzione delle altre. ### Idea del metodo Dato un problema con $n$ variabili e $m < n$ vincoli di uguaglianza, l'obiettivo è ridurre la funzione a $n-m$ variabili indipendenti. Se la matrice Jacobiana dei vincoli rispetto a $m$ variabili è invertibile, il [[Teorema di Dini]] garantisce che quelle variabili sono localmente funzioni implicite delle restanti. Sostituendole nella funzione obiettivo si ottiene una funzione libera da vincoli, i cui punti critici si determinano annullando il gradiente. Il metodo è particolarmente utile quando i vincoli sono semplici e l'esplicitazione conduce a calcoli gestibili, evitando l'introduzione dei [[Metodo dei moltiplicatori di Lagrange|moltiplicatori]]. ### Formulazione del metodo Si consideri il problema di ottimizzare $f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ soggetta a $m$ vincoli $g_{i}(x_{1}, \dots, x_{n}) = 0$ con $i = 1, \dots, m$ e $m < n$. Sia $\mathbf{x}_{0}$ un punto che soddisfa i vincoli. Si scelgano $m$ variabili, dette **dipendenti**, rispetto alle quali lo Jacobiano dei vincoli è non singolare: $ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{j_{1}}} & \cdots & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{j_{m}}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_{m}}{\partial x_{j_{1}}} & \cdots & \frac{\partial g_{m}}{\partial x_{j_{m}}} \end{pmatrix}, \qquad \det J \neq 0 \text{ in } \mathbf{x}_{0} \tag{1} $ Per il teorema di Dini, esistono funzioni $h_{1}, \dots, h_{m}$ di classe $C^{1}$ tali che le variabili dipendenti sono espresse in funzione delle rimanenti $n-m$ variabili indipendenti. Sostituendo nella funzione obiettivo si ottiene la **funzione ridotta**: $ F(\text{variabili indipendenti}) = f(\dots, h_{1}(\dots), \dots, h_{m}(\dots)) \tag{2} $ I candidati estremali vincolati sono i punti critici di $F$, ottenuti risolvendo: $ \nabla F = \mathbf{0} \tag{3} $ La natura di ciascun punto critico si classifica studiando la matrice Hessiana di $F$ o analizzando il segno della funzione ridotta nell'intorno del punto. In figura, si immagini un diagramma che mostra una superficie curva nello spazio tridimensionale con una curva di vincolo tracciata su di essa. Lo Jacobiano rappresenta la possibilità di proiettare localmente la curva su un piano coordinato senza ambiguità, permettendo di parametrizzare la curva vincolare con le variabili indipendenti. #### Esempio con un vincolo in tre variabili Si voglia massimizzare $f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ sul vincolo $g(x, y, z) = x + y + z - 3 = 0$. Lo Jacobiano dei vincoli rispetto a $z$ è $\frac{\partial g}{\partial z} = 1 \neq 0$, quindi si può esplicitare $z = 3 - x - y$. Sostituendo: $ F(x, y) = x^{2} + y^{2} + (3 - x - y)^{2} \tag{4} $ Calcolando il gradiente e annullandolo: $ \frac{\partial F}{\partial x} = 2x - 2(3 - x - y) = 4x + 2y - 6 = 0 $ $ \frac{\partial F}{\partial y} = 2y - 2(3 - x - y) = 2x + 4y - 6 = 0 \tag{5} $ Il sistema ammette la soluzione $x = y = 1$, da cui $z = 1$. Poiché la funzione obiettivo rappresenta il quadrato della distanza dall'origine e il vincolo è un piano, il punto $(1,1,1)$ è il punto del piano più vicino all'origine (minimo). La funzione $F$ è convessa (somma di quadrati), confermando un minimo. Il grafico mentale: il piano $x+y+z=3$ interseca gli assi. La funzione $f$ è una sfera centrata nell'origine. Il punto di tangenza tra la sfera più piccola centrata nell'origine e il piano è esattamente $(1,1,1)$. ### Esempi ed esercizi Immagina di avere un GPS che ti dice l'altitudine $f(x,y)$ e una strada di montagna descritta dall'equazione $g(x,y)=0$ (il vincolo). Vuoi sapere dove si trova il punto più alto della strada. Il metodo dello Jacobiano ti dice: se la strada non è verticale ($\partial g/\partial y \neq 0$), allora puoi descrivere la strada come $y = h(x)$ e trasformare il problema in "trova il massimo di $F(x) = f(x, h(x))quot;, che sai risolvere con le derivate ordinarie. È come se lungo la strada esistesse un cartello che indica l'altitudine in funzione del solo chilometro $x$: cerchi il punto dove la pendenza si annulla. ##### Domande di teoria - [ ] Qual è il ruolo del determinante Jacobiano nella scelta delle variabili da esplicitare? - [ ] Come si lega il metodo dello Jacobiano al teorema di Dini? - [ ] In quali casi il metodo dello Jacobiano è preferibile ai moltiplicatori di Lagrange? - [ ] Quali sono i passaggi per classificare la natura di un punto critico ottenuto con il metodo dello Jacobiano? - [ ] Cosa accade se lo Jacobiano è singolare in un punto candidato? Quali alternative si hanno? - [ ] Illustra con un esempio la differenza tra variabili dipendenti e indipendenti nel metodo. ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Analisi#Risorse#Metodo dello Jacobiano]]