Alcune operazioni di calcolo scalare e vettoriale risultano più semplici se si utilizza il concetto di operatore, una procedura che ha significato solo nel momento in cui viene applicata ad una grandezza. La derivata per esempio è anch’essa un operatore, da sola non ha valore. Andremo ad analizzare tre operatori che si rivelano di alta utilità: **GRADIENTE, DIVERGENZA e ROTORE.** Prima di fare ciò risulta utile però introdurre i concetti di flusso di un vettore e Integrale di linea. #### FLUSSO DI UN VETTORE Il flusso di un vettore a su di una superficie A è definito come: $ \color {orange} \Phi_a = \int_A \vec a \cdot \vec n dA $ Con n versore normale alla superficie. Se la superficie è chiusa, si usa il simbolo di integrale circolare $ \Phi_a = \oint_A \vec a \cdot \vec n dA $ #### INTEGRALE DI LINEA L'integrale di linea di un vettore a è definito come $ \color {orange} \int_\gamma \vec a \cdot d\vec s $ Con ds elemento infinitesimo della curva gamma. Se la linea gamma è chiusa, l'integrale prende il nome di **circuitazione** e si scrive $ \oint_\gamma \vec a \cdot d\vec s $ Nel caso in cui il campo sia conservativo, esiste una funzione scalare phi tale che $\vec a = \nabla \varphi$ e la circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è di conseguenza nulla $ \color {green} \oint_\gamma \vec a \cdot d\vec s =0 \quad\forall \;\gamma $ #### GRADIENTE Il gradiente è un operatore differenziale definito su un campo scalare come la somma delle derivate parziali del campo. $ \color {orange} \nabla\varphi=\dfrac {\partial \varphi }{\partial x} \vec i + \dfrac {\partial \varphi }{\partial y} \vec j + \dfrac {\partial \varphi }{\partial z} \vec k = \{\dfrac {\partial \varphi }{\partial x},\dfrac {\partial \varphi }{\partial y},\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}\} $ #### DIVERGENZA La divergenza definita su un campo vettoriale a è uguale al gradiente nabla moltiplicato scalarmente per il vettore stesso: $ \color {orange} div\, \vec a=\nabla \cdot \vec a=\frac {\partial a_x}{\partial x}+\frac {\partial a_y}{\partial y}+\frac {\partial a_z}{\partial z} $ #### ROTORE Il rotore di un campo vettoriale a è uguale al gradiente nabla moltiplicato vettorialmente per il vettore stesso: $\color {orange} rot\, \vec a=\nabla \times \vec a = det \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k \\ \frac \partial {\partial x} & \frac \partial {\partial y}&\frac \partial {\partial z} \\ a_x&a_y&a_z \end {vmatrix} $ #### Visuals --- <div class="iframe-container"> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/rB83DpBJQsE?si=eH_AHH_hJYEDmd9V" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe> </div> [Divergence and curl: The language of Maxwell's equations, fluid flow, and more](https://youtu.be/rB83DpBJQsE?si=Y3s-7i11BzYKBdJq)