Un **problema differenziale** (o problema di Cauchy) è una [[Equazioni differenziali|equazione differenziale]], cui sono state aggiunte una o più **condizioni iniziali o condizioni al bordo**, vale a dire condizioni che fissano il valore della funzione incognita o delle sue derivate in uno o più punti del suo dominio. *Ad esempio:* $ \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=f(t, x(t)) \quad \text { con } t \in\left[t_{0}, t_{0}+a\right] \\ x\left(t_{0}\right)=x_{0} \end{array}\right. $ Un problema differenziale può ammettere un qualunque numero (finito o infinito) di soluzioni. Il teorema fondamentale che garantisce l'esistenza e unicità delle soluzioni di un problema differenziale è il **Teorema di Cauchy**. #### Teorema di Cauchy Il problema differenziale $ \begin{gather*} \ddot{x}_{i}=\varphi_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n} ; \dot{x}_{1}, \ldots, \dot{x}_{n} ; t\right), \quad x_{i}\left(t_{0}\right)=x_{i 0}, \\ \dot{x}_{i}\left(t_{0}\right)=\dot{x}_{i 0}, \quad i=1, \ldots, n \tag{7.4} \end{gather*} $ ammette almeno una soluzione in un intervallo temporale $t_{0} \leq t<t_{1}$ se le funzioni $\varphi_{i}$ a secondo membro di (7.4) sono continue. Tale soluzione è unica se le $\varphi_{i}$ sono lipschitziane in un insieme di valori ( $x_{i}, \dot{x}_{i}, t$ ) che comprenda il dato iniziale. Ricordiamo a questo proposito la definizione di funzione lipschitziana. Definizione 7.2. Una funzione di più variabili $f: D \subset \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ si dice lipschitziana in una delle sue variabili (per esempio, $x_{1} \in[a, b]$ ) se esiste una costante $K$ tale che $ \begin{aligned} \left|f\left(x_{1}^{\prime \prime}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)-f\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\right| \leq K\left|x_{1}^{\prime \prime}-x_{1}^{\prime}\right| & \forall x_{1}^{\prime}, x_{1}^{\prime \prime} \in[a, b] \\ & \forall x_{2}, \ldots, x_{n} \end{aligned} $ Al fine di garantire che $f$ sia lipschitziana quando una sua variabile assume valori in un intervallo chiuso, basta che esista e sia continua la derivata parziale di $f$ rispetto a quella variabile in quell'intervallo. Osserviamo che il Teorema di Cauchy non garantisce (ma ovviamente neanche esclude) che la soluzione di un problema di Cauchy sia definita su un intervallo illimitato ( $T=+\infty$ ).