**Esistenza del limite** Una funzione $f$ ammette un [[Caratterizzazione del limite|limite]] in $x_0$ se e solo se gli insiemi $L_f$ e $U_f$ sono contigui in $\mathbb{R}$. **Limite e limitatezza** - $l \in R$ --> $f$ è localmente limitata in $x_0$ - $l=-\infty$ --> $f$ non è inferiormente limitata - $l=+\infty$ --> $f$ non è superiormente limitata Corollario: 1. Ogni successione convergente è limitata 2. $f$ è continua in $x_0 \Rightarrow f$ localmente limitata in $x_0$ **Permanenza del segno** - $l>0$ --> $f(x)>0$ localmente in x_0 - $l<0$ --> f(x)<0 localmente in x_0 - $f(x)>0$ localmente in $x_0$ --> $l \geq 0$ - $f(x)<0$ localmente in $x_0$ --> $l \leq 0$ **Limite del modulo** $ \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=l \quad \Rightarrow \quad \lim _{x \rightarrow x_0}|f|(x)=|l| $ *Dimostrazione:* *Consideriamo il caso in cui il limite appartiene a $\mathbb{R}$. Per ipotesi, $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l$. Per la caratterizzazione del limite, per ogni $\epsilon > 0$ esiste un numero tale che $|f(x) - l| < \epsilon$. Dato che $||f(x)| - |l|| \leq |f(x) - l|$, la tesi è dimostrata.* **Monotonia del limite** **Se** le funzioni f e g ammettono localmente limite in x_0 e risulta $f(x)<g(x) \,in \, x_0$ **Allora** $lim_{x->x_0}f(x) \le lim_{x->x_0}g(x)$ #### Teorema del Confronto a 2 **Se** $f(x)<g(x) \,in \, x_0$ **Allora:** $ 1. \,\,\,\, lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=+\infty => lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=+\infty \\$ $2. \,\,\,\, lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=-\infty => lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=-\infty $ #### Teorema dei Carabinieri (Confronto a 3) *Il **teorema dei carabinieri** si riferisce a una funzione $f$ i cui valori sono compresi tra i valori di altre due funzioni $g$ e $h$ che hanno lo stesso limite nel punto considerato. Essendo intrappolati tra i valori di due funzioni che si avvicinano a $L$, anche i valori di $f$ devono avvicinarsi a $L$.* **Se:** 1. $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} h(x) = l$, 2. $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ in $x_0$, **Allora** la funzione $g$ ammette limite in $x_0$ e $\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = l$ ![[Pasted image 20250321125054.png|400]] #### Operazioni fra limiti Alcune regole di base ci consentono di scomporre le funzioni complicate in funzioni semplici quando si calcolano i limiti. Utilizzando queste leggi, possiamo semplificare notevolmente molti calcoli sui limiti. **Se** $L, M, c$ e $k$ sono numeri reali e $\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L \quad$ e $\quad \lim _{x \rightarrow c} g(x)=M$ **Allora** 1. Regola della Somma: $ \lim _{x \rightarrow c}(f(x)+g(x))=L+M $ 2. Regola della Differenza: $ \lim _{x \rightarrow c}(f(x)-g(x))=L-M $ 3. Regola del Moltiplicatore costante: $ \lim _{x \rightarrow c}(k \cdot f(x))=k \cdot L $ 4. Regola del Prodotto: $ \lim _{x \rightarrow c}(f(x) \cdot g(x))=L \cdot M $ 5. Regola del Quoziente: $ \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, \quad M \neq 0 $ 6. Regola della Potenza: $\lim _{x \rightarrow c}[f(x)]^n=L^n$ 7. Regola della Radice: $\lim _{x \rightarrow c} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}=L^{1 / n}$